问题 设回归模型为：

$$ \begin{cases} y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i, \quad i=1,2,\cdots,n \\ \text{各 }\varepsilon_i\text{ 独立同分布，其分布为 }N(0,\sigma^2) \end{cases} $$

求 $\beta_0,\beta_1$ 的最大似然估计，并判断它们是否与最小二乘估计一致。 ## 答案 首先，给定线性回归模型：

$$ y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i, \quad \varepsilon_i \sim N(0, \sigma^2), \quad i = 1, 2, \dotsc, n. $$

由于误差项 $\varepsilon_i$ 相互独立同分布且服从正态分布，因此观测值 $y_i$ 条件于 $x_i$ 也相互独立，且 $y_i \sim N(\beta_0 + \beta_1 x_i, \sigma^2)$。 因此，样本的联合概率密度函数（亦即似然函数）为：

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