问题 考虑数据变换：

\[ \tilde{y}_i = \frac{y_i-c_1}{d_1}, \quad \tilde{x}_i = \frac{x_i-c_2}{d_2}, \quad i=1,2,\cdots,n \]

其中 $c_1,c_2,d_1(d_1>0),d_2(d_2>0)$ 是适当选取的常数。 (1) 建立原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差平方和之间的关系； (2) 证明：由原始数据和变换后数据得到的 $F$ 检验统计量的值保持不变。 ## 答案 (1) 经过数据变换，我们有：

\[ \tilde{y}_i = \dfrac{y_i - c_1}{d_1},\quad \tilde{x}_i = \dfrac{x_i - c_2}{d_2},\quad i=1,2,\dotsc,n. \]

首先，计算变换后数据的样本均值： [ \begin{aligned} \overline{\tilde{y}} &= \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n \tilde{y}i = \dfrac{1}{n} \sum{i=1}^n \dfrac{y_i - c_1}{d_1} = \dfrac{1}{d_1} \left( \bar{y} - c_1

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