问题 设由 $(x_i,y_i)(i=1,2,\cdots,n)$ 可建立一元线性回归方程，$\hat{y}_i$ 是拟合值。证明：样本相关系数 $r$ 满足关系：

$$ r^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(\hat{y}_i-\bar{y})^2}{\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2} $$

此式也称为回归方程的决定系数。 ## 答案 证明： 首先，样本相关系数 $r$ 定义为：

$$ r = \frac{l_{xy}}{\sqrt{l_{xx} l_{yy}}} $$

其中， $$ \begin{aligned} l_{xy} &= \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}), \ l_{xx} &= \sum_{i=1}^{n} (x_i -

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