问题 收集了16组合金钢中的碳含量 $x$ 及强度 $y$ 的数据，求得:

$$ \bar{x}=0.125, \quad \bar{y}=45.7886, \quad l_{xx}=0.3024, \quad l_{xy}=25.5218, \quad l_{yy}=2432.4566 $$

求： (1) 建立 $y$ 关于 $x$ 的一元线性回归方程 $\hat{y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x$； (2) 求 $\hat{\beta}_0$ 和 $\hat{\beta}_1$ 的标准误； (3) 求 $\hat{\beta}_0$ 和 $\hat{\beta}_1$ 的相关系数； (4) 列出回归方程显著性检验的方差分析表($\alpha=0.05$)； (5) 给出 $\beta_1$ 的0.95置信区间； (6) 在 $x=0.15$ 时求相应 $y$ 的0.95预测区间。 ## 答案 (1) 建立回归方程 根据已知数据，回归系数的最小二乘估计为： $$ \begin{aligned} \hat{\beta}{1} &= \frac{l{xy}}{l_{xx}} = \frac{25.5218}{0.3024} = 84.3975, \ \hat{\beta}_{0} &= \bar{y} -

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