问题 设回归模型为

$$ \begin{cases} y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i \\ \varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2) \end{cases} $$

现收集了15组数据，计算得：

$$ \bar{x}=0.85, \quad \bar{y}=25.60, \quad l_{xx}=19.56, \quad l_{xy}=32.54, \quad l_{yy}=46.74 $$

后发现一组数据记录错误，正确数据为$(1.2,32.6)$，记录为$(1.5,32.3)$。求： (1) $\beta_0,\beta_1$ 修正后的LSE； (2) 对回归方程作显著性检验($\alpha=0.05$)； (3) 若 $x_0=1.1$，给出对应响应变量的0.95预测区间。 ## 答案 (1) 计算 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 的修正最小二乘估计(LSE)： 修正后的样本均值： $$ \begin{aligned} \bar{x}’ &= \bar{x} + \frac{1}{n}(x_{\text{修正}} - x_{\text{错误}}) = 0.85 + \frac{1}{15}(1.2 - 1.5) = 0.83, \ \bar{y}’ &= \bar{y} + \frac{1}{n}(y_{\text{修正}} - y_{\text{错误}}) = 25.60 +

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