不定矩阵

不定矩阵（Indefinite Matrix）是指对称（或 Hermite）矩阵 $A$ 满足：其对应的二次型 $x^{\mathsf{T}} A x$ 既可以为正也可以为负，具体取值取决于非零向量 $x$ 的选择。等价地，$A$ 的特征值中既有正值也有负值。不定矩阵是除正定、半正定、负定、半负定之外的第五种也是最后一种对称矩阵类型。

定义

设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 为对称矩阵。若存在向量 $x, y \in \mathbb{R}^n$ 使得

则称 $A$ 为不定矩阵。这等价于 $A$ 的特征值集合 $\{\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\}$ 同时包含正数和负数。如果矩阵不是对称的，通常先考虑其对称部分 $(A + A^{\mathsf{T}})/2$ 来判断二次型的符号特征。

对于 Hermite 矩阵（复对称矩阵），定义类似：若存在非零复向量 $x, y$ 使得 $x^* A x > 0$ 且 $y^* A y < 0$，则 $A$ 为不定矩阵。

判定方法

除直接计算特征值符号外，还有以下实用判据：

顺序主子式法：对于对称矩阵 $A$，若存在奇数阶顺序主子式为负，且偶数阶顺序主子式为正（即不满足正定或负定的符号模式），则 $A$ 可能为不定矩阵。但此方法仅适用于对称矩阵，且要求所有顺序主子式非零。当主子式为零时，需要借助更精细的分析。

Sylvester惯性定律：矩阵的惯性指数（正特征值个数 $n_+$、负特征值个数 $n_-$、零特征值个数 $n_0$）在合同变换下保持不变。因此通过合同对角化 $A = PDP^{\mathsf{T}}$ 后，若 $D$ 既含有正元也含有负元，即可判定 $A$ 为不定矩阵。

LDL^T 分解：若 $A = LDL^{\mathsf{T}}$ 的对角阵 $D$ 同时含有正元和负元，则 $A$ 为不定矩阵。这一分解避免了显式计算特征值，计算复杂度为 $O(n^3)$，在大规模问题中更为实用。

在最优化中的应用

不定矩阵在多变量微积分和最优化理论中具有核心地位。设 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 为二阶连续可微函数，$\nabla f(x^*) = 0$ 为驻点条件。则 $x^*$ 处的 Hessian 矩阵 $H_f(x^*)$ 的类型决定了该点的性质：

• 若 $H_f(x^*)$ 正定，则 $x^*$ 为局部极小点。
• 若 $H_f(x^*)$ 负定，则 $x^*$ 为局部极大点。
• 若 $H_f(x^*)$ 为不定矩阵，则 $x^*$ 为鞍点（Saddle Point）——函数沿某些方向上升，沿另一些方向下降。

这一结论来自二阶充分条件的泰勒展开分析：$f(x^* + h) \approx f(x^*) + \frac{1}{2} h^{\mathsf{T}} H_f(x^*) h$，因此 Hessian 矩阵的符号特征直接决定了驻点附近函数值的变化趋势。

经济学中的鞍点与不定矩阵

在经济学中，鞍点（对应不定 Hessian 矩阵）频繁出现在动态优化和博弈论中。

动态最优化：在最优控制问题中，Hamiltonian 系统通常围绕鞍点稳定流形（saddle-path stable manifold）构建。例如 Ramsey-Cass-Koopmans 增长模型中的稳态均衡是鞍点：资本存量的特征根一正一负，经济沿稳定臂收敛至稳态。偏离稳定臂的任何扰动都会导致经济发散，因此不定矩阵的几何性质直接刻画了经济系统的稳定性边界。

博弈论：在二人零和博弈中，纳什均衡即为支付函数的鞍点。具体地，若参与人 1 选择策略 $x$，参与人 2 选择策略 $y$，支付函数 $f(x, y)$ 在最优点处满足 $f(x^*, y) \le f(x^*, y^*) \le f(x, y^*)$，这恰好对应 Hessian 矩阵（关于 $x$ 和 $y$）的不定性。

比较静态分析：当目标函数的 Hessian 矩阵不定时，比较静态结论不确定，参数的符号影响需要结合具体约束条件判断。这对于经济学中的政策分析具有重要启示：在鞍点附近，参数微调可能导致截然不同的均衡结果。

数值计算注意事项

不定矩阵在数值计算中需要特殊对待：

Cholesky 分解失效：不定矩阵不满足正定性，标准的 Cholesky 分解 $A = LL^{\mathsf{T}}$ 不可用。应使用 $LDL^{\mathsf{T}}$ 分解（允许 $D$ 含负元）或 Bunch-Kaufman 分解。后者通过选取适当的枢轴（pivot）来保证数值稳定性。

迭代法选择：用于正定系统的经典共轭梯度法（CG）不适用于不定系统。针对对称不定线性系统 $Ax = b$，应使用 MINRES（最小残差法）或 SYMMLQ。MINRES 通过 Lanczos 三对角化过程构造 Krylov 子空间，在每一步最小化残差的 Euclidean 范数。

牛顿法修正：在无约束优化中，若 Hessian 矩阵不定，牛顿方向 $d = -H^{-1}\nabla f$ 可能不是下降方向。修正策略包括：（1）Hessian 矩阵正则化，即添加正对角矩阵 $\mu I$ 使其正定；（2）使用拟牛顿法，如 BFGS，其更新公式天然保持正定性；（3）信赖域方法通过限制步长规避不定性带来的方向问题。

典型示例

1. 矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ 是最简单的不定矩阵：特征值为 $1$ 和 $-1$。取 $x = (1, 0)^{\mathsf{T}}$ 得 $x^{\mathsf{T}} A x = 1 > 0$；取 $y = (0, 1)^{\mathsf{T}}$ 得 $y^{\mathsf{T}} A y = -1 < 0$。

1. 矩阵 $B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ 的特征值为 $5$ 和 $-1$，故为不定矩阵。若将该矩阵视为某函数的 Hessian 矩阵，则对应驻点为鞍点。

1. 函数 $f(x, y) = x^2 - y^2$ 在 $(0, 0)$ 处的 Hessian 矩阵为 $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$，不定，故原点为鞍点。该函数在 $x$ 方向呈碗状向上，在 $y$ 方向呈碗状向下，直观展现了不定矩阵的几何含义。

1. 考虑 $3 \times 3$ 矩阵 $C = \text{diag}(2, -3, 1)$，特征值为 $2, -3, 1$，正负皆有，故为不定矩阵。这一例子说明不定矩阵的维度可以任意大，只要至少有一个正特征值和至少一个负特征值即可。

与其他矩阵类型的关系

所有对称矩阵按二次型的取值符号可划分为五类：正定（所有特征值 $>0$）、半正定（所有特征值 $\ge 0$ 且至少一个为零）、负定（所有特征值 $<0$）、半负定（所有特征值 $\le 0$ 且至少一个为零）、不定（特征值正负皆有）。不定矩阵是唯一一类使二次型符号不固定的矩阵。这一分类在多元微积分、优化理论、数值线性代数和计量经济学中均有广泛应用。理解不定矩阵的特征，对于正确识别最优化问题的解类型、选择合适的数值算法以及解释经济模型的动态性质，都至关重要。不定矩阵的理论贯穿了从基础线性代数到高级经济分析的各个层次，是连接数学工具与经济直觉的重要桥梁。

参考文献

• Horn, R. A., \& Johnson, C. R. (2012). *Matrix Analysis*. Cambridge University Press.
• Nocedal, J., \& Wright, S. J. (2006). *Numerical Optimization*. Springer.
• Simon, C. P., \& Blume, L. (1994). *Mathematics for Economists*. W. W. Norton.