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仿射变换

仿射变换 (Affine Transformation) 仿射变换 (Affine Transformation) 是数学中的重要变换，由线性变换 (Linear Transformation) 和平移 (Translation) 组成。形式上，仿射变换 T: R^n R^m 可表示为： 其中 A R^m n 是矩阵， b R^m 是平移向量。当 b = 0

浏览 4 更新 2026-05-25

仿射变换 (Affine Transformation)

仿射变换 (Affine Transformation) 是数学中的重要变换，由线性变换 (Linear Transformation) 和平移 (Translation) 组成。形式上，仿射变换 T:Rn→RmT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m 可表示为：

T(x)=Ax+bT(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b}

其中 A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n} 是矩阵，b∈Rm\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m 是平移向量。当 b=0\mathbf{b} = \mathbf{0} 时退化为线性变换。

基本性质

仿射变换保持共线性 (Collinearity)：直线映射为直线，点的比例关系保持不变。如果三点 P,Q,RP, Q, R 共线，变换后 T(P),T(Q),T(R)T(P), T(Q), T(R) 仍共线且保持相同比值。此外，仿射变换保持平行性 (Parallelism)：平行直线变换后仍平行。但长度、角度和面积通常不保持。

矩阵表示

使用齐次坐标 (Homogeneous Coordinates) 可将平移纳入统一框架。nn 维向量 x\mathbf{x} 表示为 (x1,…,xn,1)⊤(x_1, \ldots, x_n, 1)^\top，仿射变换写作：

(T(x)1)\begin{pmatrix} T(\mathbf{x}) \\ 1 \end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix} A \& \(\mathbf{b}\) \\ \(\mathbf{0}\)^\top \& 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \(\mathbf{x}\) \\ 1 \[ \end{pmatrix}

\] 这一形式将变换组合简化为矩阵乘法。

常见类型

  • 平移 (Translation)：T(x)=x+bT(\mathbf{x}) = \mathbf{x} + \mathbf{b}
  • 缩放 (Scaling)：T(x)=SxT(\mathbf{x}) = S\mathbf{x}，SS 为对角矩阵
  • 旋转 (Rotation)：T(x)=RxT(\mathbf{x}) = R\mathbf{x}，RR 为正交矩阵
  • 剪切 (Shear)：沿某方向按比例移动
  • 反射 (Reflection)：T(x)=FxT(\mathbf{x}) = F\mathbf{x}，det⁡(F)=−1\det(F) = -1

经济学与统计学应用

  1. 数据标准化：操作 z=(x−μ)/σz = (x - \mu) / \sigma 本质上是仿射变换，保持数据的分布形状。
  2. 线性回归：模型 y=Xβ+εy = X\beta + \varepsilon 可视为仿射变换。系数估计具有仿射等变性 (Affine Equivariance)：自变量经可逆仿射变换后，系数相应变换。
  3. 效用函数：von Neumann-Morgenstern 效用函数在正仿射变换下保持偏好序，即仿射变换不改变风险偏好。
  4. 资产定价：资本资产定价模型 (CAPM) 中期望收益与市场收益的关系是仿射的：E[Ri]=Rf+βi(E[Rm]−Rf)\mathbb{E}[R_i] = R_f + \beta_i (\mathbb{E}[R_m] - R_f)。
  5. 投入产出分析：里昂惕夫模型 x=Ax+d\mathbf{x} = A\mathbf{x} + \mathbf{d} 是仿射方程组的典型。
  6. 时间序列：ARMA 模型 和 GARCH 模型 常假设仿射关系。

与凸性的关系

仿射变换保持凸性：集合 CC 是凸集当且仅当 T(C)T(C) 是凸集。这一性质使仿射变换在凸优化 (Convex Optimization) 中成为坐标变换和重参数化的常用工具。

总之，仿射变换通过线性变换与平移的结合，在保持直线、平行性和凸性的同时，提供了比纯线性变换更灵活的建模能力，是经济学和统计学中不可或缺的基础工具。