估计量的无偏性检验与修正

估计量的无偏性检验与修正

无偏性是评价估计量最基本性质之一：若$E(\hat{\theta})=\theta$→$\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计量。含义：反复从同总体抽无数同容量样本→所有估计值平均等于真值（非单个样本必等于总体参数，但长期无系统性偏）。偏误$\mathrm{Bias}(\hat{\theta})=E(\hat{\theta})-\theta$：>0正偏/向上（平均高估）；<0负偏/向下（平均低估）。

检验实例

检验非实验假设检验→数学严格推导期望值。

案例一：样本均值 $\bar{X}=(1/n)\sum X_i$。$E(\bar{X})=E((1/n)\sum X_i)=(1/n)\sum E(X_i)=(1/n)n\mu=\mu$→$\bar{X}$是$\mu$无偏估计。

案例二：样本方差 $S_n^2=(1/n)\sum(X_i-\bar{X})^2$。变换：$\sum(X_i-\bar{X})^2=\sum(X_i-\mu)^2-n(\bar{X}-\mu)^2$。求期望：$E[\sum(X_i-\bar{X})^2]=n\sigma^2-n(\sigma^2/n)=(n-1)\sigma^2$。$E(S_n^2)=(1/n)(n-1)\sigma^2=\frac{n-1}{n}\sigma^2\neq\sigma^2$→有偏（负偏→系统低估方差，偏误=$-\sigma^2/n$）。但n→∞时偏误→0→渐近无偏。

贝塞尔校正

已知偏误形式→可修正：$E(S_n^2)=\frac{n-1}{n}\sigma^2$→令$S^2=c\cdot S_n^2$→$E(S^2)=c\cdot\frac{n-1}{n}\sigma^2=\sigma^2$→$c=n/(n-1)$。得无偏样本方差$S^2=(1/(n-1))\sum(X_i-\bar{X})^2$。分母n变n-1即贝塞尔校正→自由度n-1（n个离差中因和为0仅n-1个自由变化）。

无偏性不是唯一标准：MSE与权衡

均方误差MSE $\mathrm{MSE}(\hat{\theta})=E[(\hat{\theta}-\theta)^2]=\mathrm{Var}(\hat{\theta})+[\mathrm{Bias}(\hat{\theta})]^2$（方差+偏误平方）。揭示：好估计量需偏误小且波动（方差）小。偏误-方差权衡：降低偏误→可能增方差（反之）→目标最小化MSE→非单纯零偏误。例：正态下$S_n^2$方差<$S^2$方差→牺牲小偏误换更小方差→可能更低MSE。最小MSE方差估计量=$(1/(n+1))\sum(X_i-\bar{X})^2$（有偏）。

其他重要性质：一致性（n→∞→收敛于真值）；效率（所有无偏中方差最小者最有效）；充分性（含样本全部参数信息）。