KNOWECON WIKI

ARTICLE

似然比检验

似然比检验 (LRT) 似然比检验是统计推断基础假设检验方法——比较零假设下受约束简化模型与备择假设完整模型的似然函数最大值比。理论基础与Neyman-Pearson引理紧密相关。 统计量与Wilks定理 近1→约束未显著降似然→不拒H_0；近0→零假设模型拟极差→强烈拒H_0。 Wilks定理（大样本渐近）：H_0真时，LR = -2 = 2( _ unc

浏览 151 更新 2025-10-29

似然比检验 (LRT)

似然比检验是统计推断基础假设检验方法——比较零假设下受约束简化模型与备择假设完整模型的似然函数最大值比。理论基础与Neyman-Pearson引理紧密相关。

统计量与Wilks定理

Λ(x)=sup⁡θ∈Θ0L(θ∣x)sup⁡θ∈ΘL(θ∣x)∈[0,1]\Lambda(\mathbf{x}) = \frac{\sup_{\theta\in\Theta_0} L(\theta\mid\mathbf{x})}{\sup_{\theta\in\Theta} L(\theta\mid\mathbf{x})} \in [0,1]

Λ\Lambda近1→约束未显著降似然→不拒H0H_0；近0→零假设模型拟极差→强烈拒H0H_0。

Wilks定理（大样本渐近）：H0H_0真时，LR=−2log⁡Λ=2(ℓunconstrained−ℓconstrained)∼χdf2LR = -2\log\Lambda = 2(\ell_{\text{unconstrained}} - \ell_{\text{constrained}}) \sim \chi^2_{df}，df=dim⁡(Θ)−dim⁡(Θ0)df = \dim(\Theta) - \dim(\Theta_0)（受H0H_0约束个数）。决策：LR>χα,df2LR > \chi^2_{\alpha,df}→拒H0H_0；p < α\alpha→拒H0H_0。

示例与性质

硬币公平性（n=100，k=60正面）：H0:p=0.5H_0: p=0.5，H1:p≠0.5H_1: p\neq0.5。受约束ℓ(0.5)=log⁡(10060)+100log⁡0.5\ell(0.5)=\log\binom{100}{60}+100\log0.5；无约束p^=0.6\hat{p}=0.6→ℓ(0.6)=log⁡(10060)+60log⁡0.6+40log⁡0.4\ell(0.6)=\log\binom{100}{60}+60\log0.6+40\log0.4。LR≈4.04>χ0.05,12=3.841LR\approx4.04 > \chi^2_{0.05,1}=3.841→拒H0H_0（5\%水平）→硬币不公平。

性质：Neyman-Pearson引理→简单假设下LRT是最强检验（相同第一类错误下检验功效最高）。大样本下与Wald检验和拉格朗日乘数检验（Score检验）渐近等价。参数化不变性（Wald不具备）：LRT值不依赖模型参数化方式（如p vs log-odds得出相同结论）。具普适性→广泛应用于计量经济学、生物统计、心理学、模型选择。