内点纳什均衡

内点纳什均衡 (Interior Nash Equilibrium)

内点纳什均衡是博弈论中一类特殊的纳什均衡：所有参与者的混合策略中每一个纯策略均以严格正概率被采用，即策略组合位于混合策略单纯形的相对内部。形式化地，设参与者 $i$ 有纯策略集 $S_i = \{s_{i1}, \ldots, s_{iK_i}\}$，其混合策略 $\sigma_i \in \Delta(S_i)$。若对所有 $i$ 及所有 $s_{ik} \in S_i$ 均有 $\sigma_i(s_{ik}) > 0$，则称该均衡为内点均衡或完全混合均衡（completely mixed equilibrium）。

内点均衡的刻画条件

内点纳什均衡的核心特征是无差异条件：在均衡中，每个参与者对其所有纯策略的期望收益必须相等。这是因为若 $\sigma_i(s_{ik}) > 0$，则 $s_{ik}$ 必须是对对手策略的最优反应，而混合策略中任何赋予正概率的纯策略必须产生相同的期望收益。设 $u_i(\sigma_i, \sigma_{-i})$ 为参与者 $i$ 在策略组合 $(\sigma_i, \sigma_{-i})$ 下的期望收益，则内点均衡条件为：

这给出了一个多项式方程组，解的存在性需结合具体收益结构检验。该条件的直观含义是：若某一纯策略的期望收益严格高于另一策略，则理性参与者会将全部概率权重转移到高收益策略上，从而退出内点——这恰是边界均衡的形成机制。

存在性与构造性例子

并非所有博弈都有内点纳什均衡。囚徒困境唯一的纳什均衡 $(D, D)$ 是纯策略均衡，非内点。一个经典正例是石头-剪刀-布博弈，其唯一纳什均衡 $\sigma = (1/3, 1/3, 1/3)$ 是内点均衡——每种策略均以 $1/3$ 的概率被使用，无差异条件自然满足。

对于一般 $2 \times 2$ 双矩阵博弈，内点均衡的存在性可通过求解无差异方程判定。设行参与者混合策略为 $(p, 1-p)$，列参与者为 $(q, 1-q)$，其中 $p, q \in (0,1)$。行参与者对两行的无差异条件为：

类似地可写出列参与者的无差异条件。两方程联立求解 $(p, q)$：若解落入 $(0,1) \times (0,1)$，则该博弈存在内点均衡。例如性别战博弈中，混合均衡 $p^* = 2/3, q^* = 1/3$ 即为内点均衡。

与纳什均衡精炼的关系

内点均衡是纳什均衡精炼理论中的重要参照基准。颤抖手完美均衡（Selten, 1975）要求存在一列完全混合策略组合收敛于该均衡，使每位参与者在极限过程中始终选择最优反应——因此任何颤抖手完美均衡均可由内点策略序列逼近，但极限本身未必是内点。若内点均衡本身是颤抖手完美的，则它满足比普通纳什均衡更强的稳定性要求。

更进一步，内点均衡若存在，通常也满足本质均衡的条件：在收益函数的任意小扰动下，该均衡不会消失而是连续移动——这与边界均衡的"脆性"形成对比。这一性质使内点均衡在演化博弈论中具有特殊的稳健性含义。

计算方法

内点均衡的求解可转化为等期望收益条件的线性方程组。对于两人零和博弈，极大极小定理保证了最优策略可通过线性规划求解；内点解对应于最优策略的支撑为全策略集的情形。对于非零和博弈，内点条件导出多项式方程组，可通过以下方法求解：

• 直接消元法：利用概率之和为 1 的约束，将无差异方程转化为线性方程组；
• Lemke-Howson 算法：通过互补旋转计算纳什均衡的经典组合算法，可识别内点解；
• 同伦方法：从易于求解的博弈出发，连续变形收益矩阵，追踪均衡路径至目标博弈。

经济学应用

内点纳什均衡在多个经济学分支中有重要应用。在拍卖理论中，投标人的混合竞价策略通常构成内点均衡：当所有投标人对称时，均衡竞价分布赋予每个可行出价正概率密度。在政治经济学中，投票参与模型（如公民-候选人模型）的混合策略均衡常为内点解。在产业组织理论中，企业的随机定价策略（混合策略定价）可产生内点均衡，解释价格分散现象。

此外，内点均衡在演化博弈论中用于刻画演化稳定策略的支撑结构：若演化稳定策略是完全混合的，则它必然是内点均衡，且对任何突变种群具有入侵阻力。这一联系将静态博弈的精炼概念与动态演化过程的稳定性衔接起来。