几何分布

几何分布 (Geometric Distribution)

几何分布→离散概率分布→描伯努利过程中"等待第一次成功"所需试验次数。核心假设：独立伯努利试验、二元结果（成功/失败）、恒定成功概率$p$。名称源于其概率质量函数(PMF)呈等比数列（几何级数）。是负二项分布（$r=1$）特例→连续类比为指数分布。

两种定义形式

几何分布存在两种广泛使用的定义→涉及随机变量取值范围的差异→对PMF、期望和方差均有影响→在任何应用中必须首先明确所用定义。

形式一（试验次数$X$）：取得第一次成功所需总试验次数→支持集$k=1,2,3,\ldots$→PMF: $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$→序列为前$k-1$次失败后跟第$k$次成功→概率由独立性直接相乘得到。$X=1$表示首次试验即成功。

形式二（失败次数$Y$）：首次成功前经历的失败次数→支持集$k=0,1,2,\ldots$→PMF: $P(Y=k)=(1-p)^k p$→$Y=X-1$。$Y=0$表示首次试验即成功（零失败）。不同教材和统计软件（R语言\texttt{dgeom}默认形式二、Python \texttt{scipy}可指定）默认不同→使用时务必查阅文档确认。

期望与方差

形式一：$E[X]=1/p$→直观：$p=1/4$时平均需4次试验。推导：$E[X]=\sum_{k=1}^{\infty} kp(1-p)^{k-1}=p\cdot\frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}$。

形式二：$E[Y]=E[X]-1=(1-p)/p$。

方差统一：$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(Y)=(1-p)/p^2$→$p$小时方差大→等待次数波动剧烈→例如$p=0.01$时方差高达9900。

无记忆性（核心性质）

几何分布是唯一具有无记忆性的离散分布：$P(X>m+n\mid X>n)=P(X>m)$。过去失败不影响未来成功概率→系统"忘记"已发生的失败。

证：$P(X>k)=(1-p)^k$（前$k$次全失败）→$P(X>m+n\mid X>n)=\frac{(1-p)^{m+n}}{(1-p)^n}=(1-p)^m=P(X>m)$。

CDF：$F_X(k)=P(X\le k)=1-(1-p)^k$。连续对应物→指数分布→同样具有无记忆性。

与其他分布的关系

伯努利分布：单次试验模型→几何分布是伯努利试验重复至首次成功。负二项分布：几何分布是$r=1$的特例→$\mathrm{Geometric}(p)\equiv\mathrm{NegativeBinomial}(1,p)$→负二项推广至"等待第$r$次成功"。

应用实例

质量检测→次品率$p=0.05$→第10个首次发现次品概率：$P(X=10)=(0.95)^9\times0.05\approx0.0315$→期望$E[X]=1/0.05=20$个。

游戏抽奖→$p=0.01$→已抽50次未中→接下来10次内抽中概率与新手前10次完全相同→无记忆性→过去"霉运"不增未来机会→警惕赌徒谬误：认为"该中了"是错觉。

记忆：几何分布="等首次成功"→两种定义需辨析（次数vs失败数）→无记忆→期望$1/p$→负二项特例→离散版指数分布。警惕与赌徒谬误的混淆：无记忆性恰说明"该中了"是认知偏差→每次试验独立→历史不影响未来。