凸组合

凸组合 (Convex Combination)

凸组合是凸分析与线性代数中的基础概念，广泛应用于经济学、优化理论和概率论。给定向量空间中的有限点集 $\{\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_k\} \subset \mathbb{R}^n$，这些点的凸组合定义为：

权数 $\lambda_i$ 必须非负且总和为一，这一约束使凸组合区别于一般的线性组合。从几何上看，凸组合在两点之间生成连接线段，在三点之间生成以三点为顶点的三角形内部区域。

凸集与凸包

凸组合直接导出凸集的定义：集合 $C \subseteq \mathbb{R}^n$ 是凸集，当且仅当 $C$ 中任意两点的凸组合仍在 $C$ 中，即 $\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in C, \forall \lambda \in [0,1],\; \lambda\mathbf{x} + (1-\lambda)\mathbf{y} \in C$。这一性质刻画出凸集的"无凹陷"几何特征，是经济学中预算集、生产可能性集和上优集等标准假设的核心。

由任意集合 $S \subseteq \mathbb{R}^n$ 中点的所有可能凸组合构成的集合称为 $S$ 的凸包 (Convex Hull)，记作 $\operatorname{conv}(S)$。凸包是包含 $S$ 的最小凸集。在卡罗需-库恩-塔克条件和分离超平面定理等核心优化结果中，凸包的构造起着关键作用。

在经济学中的核心应用

期望效用与风险：在期望效用理论中，一个彩票（lottery）本质上就是对各确定结果的概率加权平均——即结果的凸组合。决策者在多个彩票间做选择，每个彩票对应概率单纯形中的一个点。詹森不等式（Jensen's inequality）指出，对于凹效用函数 $u$，有 $u(\sum \lambda_i x_i) \geq \sum \lambda_i u(x_i)$，这正是风险厌恶的数学刻画：确定等价于期望值的效用至少不低于期望效用本身。风险中性对应线性效用函数（凸组合穿过效用函数），风险偏好对应凸效用函数。

混合策略与博弈论：在博弈论中，混合策略是纯策略空间上的概率分布——纯策略的凸组合。纳什均衡的存在性证明依赖于策略空间为凸紧集且支付函数满足拟凹性，凸组合结构保证了角谷不动点定理的适用条件。混合策略允许玩家通过随机化使对手无差异，从而扩大可实现的支付组合。

投资组合与分散化：马科维茨投资组合理论中，任意可行的投资组合可表示为各资产权重向量的凸组合 $\mathbf{w} = \sum \lambda_i \mathbf{w}_i$，其中 $\sum \lambda_i = 1$ 且 $\lambda_i \geq 0$。给定资产间的相关性结构，凸组合生成的可行集决定了有效前沿。分散化降低风险的原理在数学上等价于方差函数的凸性：$\operatorname{Var}(\sum \lambda_i r_i) \leq \sum \lambda_i \operatorname{Var}(r_i)$ 对不完全正相关的资产组成立。

消费者与生产者理论：消费者的凸偏好假设意味着若两个消费束无差异，则其凸组合至少与前两者一样好，由此导出无差异曲线凸向原点。生产理论中的生产可能性边界若为凸集，则机会成本递增，这是比较优势与贸易收益的几何基础。

与仿射组合及锥组合的区别

凸组合与仿射组合（仅要求 $\sum \lambda_i = 1$ 而不约束非负性）和锥组合（仅要求 $\lambda_i \geq 0$ 而不约束和为一）构成三种基本组合形式，分别对应凸集、仿射集和锥的代数特征。在线性规划和凸优化中，可行域的表示通常涉及这三类组合的交互运用。分离超平面定理和法卡斯引理等核心对偶结果从根本上依赖于凸组合所生成的凸集分离性质。