凸锥

凸锥（convex cone）是凸分析和优化理论中的基本概念，它同时结合了锥（cone）与凸集（convex set）的性质。在泛函分析、最优化理论、对偶理论及经济模型中均有广泛应用。

定义

设 $V$ 是一个实向量空间，$C \subseteq V$。称 $C$ 为凸锥，若对任意 $x, y \in C$ 和任意非负实数 $\lambda, \mu \geq 0$，有

等价地，凸锥是同时满足以下两个条件的集合：

1. 锥性质：若 $x \in C$，则对任意 $\lambda \geq 0$ 有 $\lambda x \in C$；
2. 凸性质：若 $x, y \in C$，则 $x + y \in C$。

凸锥的定义也可以等价表述为：集合对正数数乘和加法同时封闭。这一结构使得凸锥成为线性空间中"无负系数线性组合"的自然推广。

基本例子

• 零锥 $\{0\}$ 和全空间 $\mathbb{R}^n$ 都是凸锥。
• 非负象限 $\mathbb{R}^n_+ = \{ (x_1,\dots,x_n) \mid x_i \geq 0 \}$ 是凸锥。它是线性规划中最基本的锥。
• 半正定锥 $\mathbb{S}^n_+ = \{ X \in \mathbb{R}^{n\times n} \mid X \succeq 0, X = X^\top \}$ 是对称半正定矩阵构成的凸锥，在锥优化中起核心作用。
• 二阶锥（冰激凌锥） $\mathcal{L}^n = \{ (x,t) \in \mathbb{R}^{n-1}\times\mathbb{R} \mid \|x\|_2 \leq t \}$ 是凸锥，对应二阶锥规划。
• 任意范数锥 $\{(x,t) \mid \|x\| \leq t\}$ 都是凸锥。

性质

凸锥具有以下重要性质：

1. 交与直和：一族凸锥的交仍是凸锥；两个凸锥的直和也是凸锥。
2. 对偶锥：给定锥 $K$，其对偶锥定义为 $K^* = \{ y \mid \langle y, x \rangle \geq 0,\ \forall x \in K \}$。对偶锥一定是凸锥。重要性质：若 $K$ 是闭凸锥，则 $K^{**} = K$。
3. 极锥：$K^\circ = \{ y \mid \langle y, x \rangle \leq 0,\ \forall x \in K \}$。对偶锥与极锥之间满足 $K^\circ = -K^*$。
4. 凸锥与序关系：一个凸锥 $K$ 可以定义偏序：$x \preceq_K y$ 当且仅当 $y - x \in K$。这种序在向量优化和均衡分析中至关重要。
5. 凸锥的生成：任意凸集 $S$ 的锥包 $\operatorname{cone}(S) = \{ \lambda x \mid \lambda \geq 0, x \in S \}$ 不一定是凸锥；但若 $S$ 为凸集，则 $\operatorname{cone}(S)$ 是凸锥。

重要分类

• 尖锥（pointed cone）：若 $K \cap (-K) = \{0\}$，则称 $K$ 为尖锥。尖锥定义的偏序是反对称的。
• 闭锥：若凸锥是闭集，则称闭凸锥。Rn中的闭凸锥具有良好的对偶性。
• 正则锥（normal cone）：在序向量空间中，若从 $0 \leq x_n \leq y_n$ 且 $y_n \to 0$ 可推出 $x_n \to 0$，则称该锥为正则锥。
• 自对偶锥：若 $K^* = K$，则称 $K$ 为自对偶锥。非负象限 $\mathbb{R}^n_+$、半正定锥 $\mathbb{S}^n_+$ 和二阶锥 $\mathcal{L}^n$ 都是自对偶锥。

应用

凸锥在最优化理论中无处不在：

• 锥规划：包括线性规划（LP）、二阶锥规划（SOCP）和半定规划（SDP）均可统一为凸锥上的线性优化问题。这是现代凸优化的核心范式。
• 对偶理论：凸锥是导出对偶问题的工具。利用对偶锥可以构建Lagrange对偶，得到弱对偶和强对偶条件。
• 经济均衡：在一般均衡理论中，凸锥用于表示无套利条件。价格系统与商品空间的对偶性通过凸锥来刻画。
• 非光滑分析与变分不等式：法锥（normal cone）是凸分析的基本工具，定义为 $N_C(x) = \{ v \mid \langle v, y-x \rangle \leq 0,\ \forall y \in C \}$，其中 $C$ 为凸集。法锥本身也是一个凸锥。

凸锥作为联系代数和几何结构的桥梁，是理解和求解大规模优化问题的理论基石。