包络定理

包络定理 (Envelope Theorem)

包络定理→微观/最优化核→描述最优化问题外生参变时值函数（最优值）变化→计值函数对参数导数时仅关注直接影响→忽略间接影响（通过最优选择变量）→为比较静态分析提供强力工。

定理表述

无约束：$\max_x f(x,\alpha)$→值函数$V(\alpha)=f(x^*(\alpha),\alpha)$→

推导：全导$\frac{dV}{d\alpha}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx^*}{d\alpha}+\frac{\partial f}{\partial\alpha}$→因$x^*$满一阶条件$\frac{\partial f}{\partial x}=0$（最优"山顶"→坡度平）→间接影项消→徒直效。

有约束：$\max_x f(x,\alpha)$ s.t. $g(x,\alpha)\le0$→拉格朗日$\mathcal{L}=f-\lambda g$→包络定理：

一阶条件共保所有通过$x^*,\lambda^*$的间接效和为0。

三大经典应用

霍特林引理：完全竞争企利润最大→$\pi(p,w)=pq-C(q,w)$→$\frac{\partial\pi^*}{\partial p}=q^*(p,w)$→最大利对产价导=最优产出→从利函数直推供给函数。罗伊恒等式：消效用最大于预算约束下→间接效函$V(p_1,p_2,I)$→$\frac{\partial V}{\partial I}=\lambda^*$→拉格朗日乘数=收入的边际效用。谢泼德引理：企成本最小化→$\min w_1z_1+w_2z_2$ s.t. $f(z_1,z_2)=q$→$\frac{\partial C^*}{\partial w_1}=z_1^*$→成本对要价偏导=该要素需→从成本函直推要素需求。

核→根值于最优一阶条件→最优"平坦"使决策变量微调对目标的边贡献为零→大大简比较静态→传三著名引理→深刻揭经济主最优化行为下值函数（利/效/成）与市场参数(价/收)间内在简数学关。