区组设计

区组设计 (Block Design)

区组设计→实验设计核心技术：将实验单元按已知干扰因素划分为若干同质区组（block），在区组内随机分配处理→消除系统误差、提升检验效力。核心思想：区组内变异小而区组间变异大→将区组效应从误差中分离→信噪比↑。区组本身不是研究兴趣所在，而是纳入模型以精化处理效应估计的妨扰因子（nuisance factor）。

基本原理

田间试验→地块肥力不均必掩蔽处理效应。RA Fisher于Rothamsted提出随机化三原则（随机/重复/局部控制）→区组化即局部控制的手段：把同质单元归入同一区组→区组内处理比较不受区组间差异污染。数学模型（可加性假设）：

$Y_{ij}=\mu+\tau_i+\beta_j+\varepsilon_{ij},\quad\varepsilon_{ij}\sim N(0,\sigma^2)$

$\tau_i$=处理i效应，$\beta_j$=区组j效应→无交互项→假设处理效应在全区组恒定。若此假设不成立→需Tukey可加性检验或改用其他设计。可加性检验：对拟合值平方项做回归→若$\hat{Y}^2$系数显著→交互作用存在→可尝试数据变换（对数、平方根、Box-Cox）恢复可加性。

随机化完全区组设计 (RCBD)

最基础形式：每个处理在每个区组中出现一次→n个处理、b个区组→共N=nb次观测。随机化在区组内独立进行：每区组内处理的排列顺序随机→不同于完全随机设计(CRD)的全局随机化。

方差分析：总变异$SS_T$分解为处理$SS_{trt}$+区组$SS_{blk}$+误差$SS_E$。区组平方和从误差中剥离→若区组效应显著→RCBD的MSE小于CRD→检验更敏感。相对效率：$RE=\frac{(b-1)MS_{blk}+b(t-1)MS_E}{(bt-1)MS_E}$→>1则区组化有效。假设检验：处理效应F检验→$F=\frac{MS_{trt}}{MS_E}$在$H_0:\tau_i=0$下服从$F_{(t-1),(t-1)(b-1)}$。若区组效应是否显著也是检验目标→$F_{blk}=\frac{MS_{blk}}{MS_E}$→但区组效应通常不检验（随机而非固定效应的争议）→Fisher认为区组不提供处理推断信息，仅用于误差精度控制。

⚠缺失值：一个观测缺失即破坏正交性→需缺失值估计（Yates公式：$\hat{y}_{ij}=\frac{tT_i'+bB_j'-G'}{(t-1)(b-1)}$，迭代至收敛）→自由度修正（误差df-1）。现代替代→混合效应模型（REML）直接处理→无需填补，利用所有可用数据。⚠区组随机or固定？：区组若为固定效应→推断限于该组区组水平；若为随机效应→推断扩展至区组总体→选择取决于研究目的与区组抽样方式。

⚠区组内误差自由度：$(t-1)(b-1)$→若区组太多而处理少→误差df不足→检验效力低→可考虑区组合并为拉丁方等控制多向干扰。另一种策略：广义随机区组设计→将区组视为随机效应→采用混合模型→省去区组自由度损失→但需额外假设$\beta_j\sim N(0,\sigma^2_\beta)$且$\beta_j\perp\varepsilon_{ij}$。

拉丁方设计 (Latin Square)

控制两个干扰因子（如行=土壤湿度梯度+列=光照梯度）→t×t方阵中每处理在每行每列各出现一次→模型：$Y_{ijk}=\mu+\tau_i+\alpha_j+\beta_k+\varepsilon_{ijk}$。将两个区组因子同时从误差分离→比RCBD更精。局限：行=列=处理数→t太小(≤3)则误差df=(t-1)(t-2)不足→检验效低；t太大(≥10)则实施困难→常见的t=4\~8。随机化：先随机排列行，再随机排列列→确定基础方阵后随机分配处理至字母。

希腊-拉丁方：叠加第四个因子（希腊字母）→控制三个干扰源→须满足正交条件→正交拉丁方的构造依赖有限域→Euler猜想n=6无解（1901年Tarry验证）→又称"36名军官问题"。

不完全区组设计 (Incomplete Block)

区组容量小于处理数时→每个区组仅容纳部分处理→平衡不完全区组设计(BIBD)为最优：任意两处理在相同区组中相遇次数相等（$\lambda$次）→保证所有处理比较精度相同。参数约束：

$bk=rt,\quad r(k-1)=\lambda(t-1),\quad b\geq t$

t=处理数，b=区组数，k=区组大小，r=每处理重复数。Fisher不等式（$b\geq t$）→区组数不少于处理数是BIBD存在的必要条件。经典例：t=7,b=7,k=3,r=3,λ=1（Fano平面的补→每区组含三处理，每对处理恰共现一次）。另一个常见设计：t=4,b=4,k=3（$\lambda=2$）→每区组缺一不同处理→称为均衡不完全区组Youden方若同时满足列正交。

BIBD分析：处理效应需经区组内信息调整→处理平方和为调整后值：$SS_{trt(adj)}=\frac{k}{\lambda t}\sum_i Q_i^2$，其中$Q_i$=处理i的调整总分（实际值-区组均值校正）。区组间信息也可回收→联合分析(combined intra-/inter-block analysis)。

部分平衡不完全区组(PBIB)：当BIBD参数过严→放松平衡条件→处理分为关联类→同关联类的处理对在相同区组中相遇次数相同→参数空间更大，更灵活。

现代扩展与应用

裂区设计：区组内嵌套整区与裂区→处理因子分层→适用于因子实施难度不同（如灌溉方式=整区，品种=裂区）→检验时整区与裂区用不同误差项。

多元区组：多元方差分析(MANOVA)中区组效应向量化→检验多响应变量联合受区组影响→需满足Mauchly球形假设。

应用：农业（品种试验控土壤异质→Fisher经典小麦产量试验，区组化后误差方差减半）、医学（多中心临床试验→中心=区组，控机构差异→中心内随机化保证内部有效性）、工业（原材料批次=区组→批次间非均质被剔除→工艺比较更精）、心理学（受试者=区组→控个体差异→重复测量设计即受试者内区组特例）、教育（班级=区组→教学方法比较时控班级基线差异）→范用。样本量估算：RCBD下→处理均值差的最小显著差异$LSD=t_{\alpha/2,df_E}\sqrt{2MS_E/b}$→误差自由度与MSE均不同于CRD→样本量须按RCBD方差结构重新计算→低估者常见。

⚠CRD vs RCBD选择：若干扰因子已知且可控→区组化永远优先；若干扰未知或无法划分→CRD+事后协方差分析(ANCOVA)亦可。误区：事后按观测值高低划分区组→断点引入偏差→区组必须在随机化前定义。⚠区组效应不显著时：若$F_{blk}$不显著→不应贸然抛弃区组设计→区组化仍可减少误差方差→且设计阶段已投入的局部控制不可逆→保留区组项是保守正确做法。⚠区组与协变量：区组是离散分类变量→协变量是连续变量→两者均可控干扰→ANCOVA可同时纳入区组和协变量→前提：协变量斜率在全区组同质（同质性回归斜率假设）→若不等→需区组×协变量交互项→即变系数模型。