半负定

半负定 (Negative Semidefinite)

半负定 (Negative Semidefinite) 是 线性代数 与 最优化 理论中描述对称矩阵性质的核心概念。一个 $n \times n$ 实对称矩阵 $\mathbf{A}$ 被称为半负定，当且仅当对于任意非零实向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，均有二次型小于或等于零：

这一概念在经济学中频繁出现于 凹函数 的判定、Slutsky方程 中替代矩阵的性质分析、协方差矩阵 的条件数讨论，以及 计量经济学 中 GMM (广义矩估计) 权重矩阵的选取等领域。

严格定义与等价条件

设 $\mathbf{A}$ 为 $n \times n$ 实对称矩阵。半负定的等价判别条件包括：

1. 特征值条件：$\mathbf{A}$ 的所有 特征值 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 满足 $\lambda_i \leq 0$。换言之，半负定意味着矩阵的谱完全落在非正实轴上。若所有特征值严格小于零，则矩阵为 负定 (Negative Definite)；若存在零特征值且其余为负，则矩阵为严格半负定但非负定。
2. 顺序主子式条件：$\mathbf{A}$ 的 $k$ 阶顺序主子式 (Leading Principal Minor) 的符号须满足： \[ (-1)^k \cdot \Delta_k \geq 0, \quad k = 1, 2, \ldots, n \] 即一阶顺序主子式 $\Delta_1 \leq 0$，二阶 $\Delta_2 \geq 0$，三阶 $\Delta_3 \leq 0$，以此类推——符号交替，且允许为零。注意：与负定情形不同，半负定要求所有主子式（而不仅是顺序主子式）满足上述符号条件。
3. 二次型上下界：若 $\mathbf{A}$ 半负定，则由 Rayleigh商 (Rayleigh Quotient) 可知： \[ \lambda_{\min} \leq \frac{\mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x}}{\mathbf{x}^\top \mathbf{x}} \leq \lambda_{\max} \leq 0 \] 其中 $\lambda_{\max}$ 为最大特征值。因此，$\mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x} \in [\lambda_{\min}\|\mathbf{x}\|^2, 0]$，二次型始终非正。

与正定、负定、半正定的关系

矩阵的定号性构成了一个分类体系：

\begin{array}{c|c} $\text{分类}$ \& $\text{二次型条件}$ \\ \hline $\text{正定 (Positive Definite)}$ \& $\mathbf{x}$^\top $\mathbf{A}$ $\mathbf{x}$ > 0,\ \forall $\mathbf{x}$ \neq $\mathbf{0}$ \\ $\text{半正定 (Positive Semidefinite)}$ \& $\mathbf{x}$^\top $\mathbf{A}$ $\mathbf{x}$ \geq 0,\ \forall $\mathbf{x}$ \\ $\text{负定 (Negative Definite)}$ \& $\mathbf{x}$^\top $\mathbf{A}$ $\mathbf{x}$ < 0,\ \forall $\mathbf{x}$ \neq $\mathbf{0}$ \\ $\text{半负定 (Negative Semidefinite)}$ \& $\mathbf{x}$^\top $\mathbf{A}$ $\mathbf{x}$ \leq 0,\ \forall $\mathbf{x}$ \\ $\text{不定 (Indefinite)}$ \& \exists $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$ $\text{ 使二次型分别取正、负值}$ \end{array}

一个直接的性质：$\mathbf{A}$ 半负定当且仅当 $-\mathbf{A}$ 半正定。这使得许多半正定矩阵的结论可通过取负号平移到半负定情形。例如，任意矩阵 $\mathbf{B}$ 的 Gram 矩阵 $\mathbf{B}^\top \mathbf{B}$ 是半正定的，因此 $-\mathbf{B}^\top \mathbf{B}$ 是半负定的。

经济学中的应用

凹性与 Hessian 矩阵

在微观经济分析中，一个二阶可微函数 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 是 凹函数 的充要条件是其 Hessian矩阵 $\mathbf{H}_f(\mathbf{x})$ 在定义域内处处半负定。这对以下场景至关重要：

• 利润函数 $\pi(\mathbf{p}, \mathbf{w})$：由 Hotelling引理 导出的供给与要素需求行为要求利润函数关于价格向量为凸函数，但利润函数的 Hessian 本身并不要求半负定；相反，成本函数 $C(\mathbf{w}, q)$ 关于要素价格 $\mathbf{w}$ 是凹函数，其 Hessian 半负定。
• 间接效用函数 $V(\mathbf{p}, m)$：关于价格向量 $\mathbf{p}$ 是拟凸函数，其 Hessian 性质涉及半负定的扩展形式。
• 生产函数：若生产函数为凹，则要素需求系统满足可积性条件，Hessian 的半负定性保证了 等产量线 向原点凸出。

Slutsky替代矩阵

消费理论中，Slutsky替代矩阵 (Slutsky Substitution Matrix) $\mathbf{S} = [s_{ij}]$，其元素为：

即 Hicks 需求对价格的偏导数。需求理论的一个核心定理指出：Slutsky 矩阵是对称且 半负定 的。对称性来自 Young定理（或可积性条件），半负定性则等价于 补偿需求律 (Compensated Law of Demand)：

这意味着当价格向量沿任意方向变化 $\Delta \mathbf{p}$ 时，补偿需求量变动的内积与价格变动的内积非正——价格上升（补偿后）必然导致需求量减少或不变。对角线元素 $s_{ii} \leq 0$ 是半负定的必要非充分条件：自身替代效应必须非正。

计量经济学中的协方差与权重矩阵

在 广义最小二乘法 (GLS) 和 GMM 中，方差-协方差矩阵 $\boldsymbol{\Sigma}$ 必须是半正定的（因为方差非负），因此其负矩阵 $-\boldsymbol{\Sigma}$ 是半负定的。在 Hansen-Jagannathan边界 和 随机贴现因子 的方差下界分析中，半负定性条件用于约束可行定价核的集合。

判定方法

实际判定半负定性的常用方法包括：

• 特征值计算：直接计算所有特征值并检查是否全部 $\leq 0$。对于中小规模矩阵最可靠。
• Cholesky分解的变体：尝试对 $-\mathbf{A}$ 进行 Cholesky 分解。若存在不完全的 LDL$^\top$ 分解且 $D$ 的对角元 $\geq 0$，则 $\mathbf{A}$ 半负定。对于半定情形，需使用带主元旋转的 LDL$^\top$ 或修正的 Cholesky 分解。
• Sylvester准则的推广：逐一检查所有主子式（而非仅顺序主子式）的符号交替性。这一方法在维度较高时计算量巨大。
• 二次规划法：求解 $\min_{\|\mathbf{x}\|=1} \mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x}$。若最优值 $\leq 0$，则矩阵半负定。

注意事项

• 对称性是前提：半负定的定义仅适用于对称矩阵（或复 Hermitian 矩阵）。对于非对称矩阵，可考虑其对称部分 $\frac{1}{2}(\mathbf{A} + \mathbf{A}^\top)$。在经济学中，Slutsky 矩阵的可积性条件保证了其对称性，因此半负定判别是有意义的。
• 顺序主子式条件对半定情形的陷阱：与正定/负定不同，仅检查顺序主子式不足以保证半正定或半负定。例如，矩阵 $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ 满足交替符号条件（一阶 $=0 \leq 0$，二阶 $=0 \geq 0$）且确实半负定；但 $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 的一阶顺序主子式为 $0$（满足 $\leq 0$），二阶为 $-1$（不满足 $\geq 0$），因此非半负定——然而必须检查所有主子式才能做出完全判断。
• 半负定与负定的经济学含义：Hessian 严格负定保证严格凹性（唯一最大值），而半负定仅保证凹性（最大值可能不唯一）。在比较静态分析中，若 Hessian 仅在边界上半负定而非严格负定，最优解可能构成一个集合而非唯一点。