反函数

反函数 (Inverse Function)

反函数→给定函数$f:X\to Y$→若存在$g:Y\to X$使$g(f(x))=x,\forall x\in X$且$f(g(y))=y,\forall y\in Y$→称$g$为$f$的反函数→记$f^{-1}$（≠倒数）。$f$必有反函数的充要条件是$f$为双射(单射满射→一一对应)。

判定与几何意义

水平线检验：若任意水平线与函数图像至多交于一点→函数单射→反函数存在。几何上$y=f(x)$与其反函数$y=f^{-1}(x)$的图像关于直线$y=x$对称→此对称性直接来自$x$与$y$的角色互换。

反函数求导定理

设$f$在$x_0$可导且$f'(x_0)\neq0$，$f$在$x_0$附近有反函数$f^{-1}$→则$f^{-1}$在$y_0=f(x_0)$处可导→且：

直观：反函数在一点的导数=原函数在对应点导数的倒数→来源于链式法则：由$f^{-1}(f(x))=x$两边对$x$求导得$(f^{-1})'(f(x))\cdot f'(x)=1$。

常见反函数

• 指数函数$y=e^x$的反函数：自然对数$y=\ln x$（$x>0$）
• 幂函数$y=x^n$（n奇数）的反函数：$y=\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$
• 三角函数限制定义域后：$\arcsin$/$\arccos$/$\arctan$为$\sin$/$\cos$/$\tan$的反函数
• 线性函数$y=ax+b$($a\neq0$)的反函数：$y=(x-b)/a$

经济学应用

反需求函数：通常需求函数$Q=D(P)$以价格解数量；其反函数$P=D^{-1}(Q)$表消费者愿为第$Q$单位支付的最高价格→即保留价格。在垄断定价、消费者剩余计算及拍卖理论中至关。类似反供给函数$P=S^{-1}(Q)$表生产者愿接受的最低价格。

边际成本与边际收益的关系亦涉反函数思维：垄断者$MR(Q)=P(Q)+P'(Q)Q$→$P(Q)$即反需求函数。希克斯需求与支出函数之间存在反函数对偶→谢泼德引理等价刻画。分布函数$F$与其反函数（分位数函数）$F^{-1}$广泛用于风险价值(VaR)计算与随机占优分析。

反函数定理

多元情形有反函数定理：设$\mathbf{f}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$在点$\mathbf{x}_0$的雅可比矩阵$D\mathbf{f}(\mathbf{x}_0)$可逆→则$\mathbf{f}$在$\mathbf{x}_0$附近局部可逆→且反函数$\mathbf{f}^{-1}$的雅可比矩阵为$[D\mathbf{f}(\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{y}))]^{-1}$。该定理是比较静态分析的重要数学基础→尤其在一般均衡体系中论证内生变量可由外生变量唯一确定时不可或缺。