反需求函数

反需求函数 (Inverse Demand Function)

反需求函数是将价格表示为需求量的函数，即 $P = P(Q)$，与标准需求函数 $Q = Q(P)$ 互为反函数关系。在标准需求函数中，需求量是价格的因变量（符合马歇尔传统），而在反需求函数中，价格被表达为消费者对第 $Q$ 单位商品所愿意支付的最高价格。

定义与几何解释

对于一条向右下方倾斜的需求曲线，在 $Q$-$P$ 坐标系中（通常将价格置于纵轴），需求曲线本身即是反需求函数的图像。因此，反需求函数并非一个独立构造，而是与需求函数共享同一几何对象的代数等价形式：需求曲线上的每一个点 $(Q, P(Q))$ 同时表示：在价格 $P$ 时消费者愿意购买 $Q$ 单位，且对于第 $Q$ 个单位，消费者的边际支付意愿恰好为 $P$。

边际收入推导

反需求函数在垄断理论与产业组织分析中至关重要，因为厂商的收入函数直接以产量为决策变量：

求导得边际收入（Marginal Revenue）：

由于需求曲线向下倾斜，$P'(Q) < 0$，故 $MR(Q) < P(Q)$：每多销售一单位，不仅该单位以更低价格售出，此前所有单位也因降价而损失收入。这就是垄断者"压低自身价格"的内在机制。

线性反需求函数

最常见的参数化形式为线性反需求函数：

此时：

边际收入曲线与需求曲线共享相同的纵轴截距 $a$，但斜率为需求曲线的两倍（$-2b$ 对 $-b$）。在几何上，$MR$ 曲线平分纵轴与需求曲线之间的水平距离。

弹性表示

利用需求价格弹性 $\varepsilon = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q}$，可将边际收入表达为：

由该式可得勒纳指数（Lerner Index）的基础形式：

即垄断加成能力完全由需求弹性决定。弹性越大，垄断定价越接近竞争价格；弹性越小，加成越大。这一关系是反需求函数在垄断定价理论中的核心桥梁作用。

消费者剩余与福利

反需求函数直接关联消费者剩余：在 $0$ 到 $Q_0$ 区间内，反需求曲线以下、价格线以上的面积即为消费者剩余：

因此，反需求函数同时刻画了需求行为、边际支付意愿与福利度量三重角色，使其成为福利经济学和成本收益分析中的分析基石。

应用场景

• 垄断定价：厂商选择 $Q$ 以最大化 $\pi = P(Q)Q - C(Q)$，一阶条件 $MR(Q) = MC(Q)$ 直接建立于反需求函数之上。
• 古诺竞争：在寡头市场中，每家厂商将对手产量视为给定，通过反需求函数 $P(q_i + q_{-i})$ 构建反应函数。
• 价格歧视：一级价格歧视下，垄断者沿反需求曲线逐个攫取消费者剩余；三级价格歧视依据不同市场段的弹性差异设定不同价格。
• 垂直差异化：在产业组织的垂直关系模型中，反需求函数的曲率（凸性或凹性）决定了上下游合约的激励结构。

与普通需求函数的区别

标准需求函数 $Q = D(P)$ 采用马歇尔传统，将价格视为自变量；反需求函数 $P = P(Q)$ 在分析以产量为战略变量的情境（如古诺竞争、伯特兰竞争的产量版）中更为自然。两种表达的经济信息等价，但分析便利性因场景而异：凡需对 $Q$ 求导以建立一阶条件之处，反需求函数皆提供直接路径。