古诺加总恒等式

古诺加总恒等式 (Cournot Aggregation Identity)

古诺加总恒等式（Cournot Aggregation Identity）是消费者理论中关于需求函数的核心加总条件之一。它描述了当某种商品价格变化时，消费者如何在各商品间重新分配支出，以确保预算约束始终成立。该恒等式与恩格尔加总条件（Engel Aggregation）、需求函数的齐次性共同构成消费者需求理论的三大加总约束。

推导

设消费者面临 $n$ 种商品，价格为 $p_1, \dots, p_n$，收入为 $m$，马歇尔需求函数为 $x_i(p, m)$。预算约束为：

将预算约束对第 $j$ 种商品的价格 $p_j$ 求偏导：

这就是古诺加总恒等式的导数形式：价格 $p_j$ 上升一方面直接增加购买原有数量 $x_j$ 的支出，另一方面通过改变各种商品需求量间接影响总支出。两项之和必为零——因为预算约束的等式必须维持。

弹性形式

将导数形式改写为需求价格弹性的表述更为常用。定义商品 $i$ 对价格 $p_j$ 的需求弹性：

以及商品 $i$ 的预算份额 $w_i \equiv p_i x_i / m$。将导数形式两端乘以 $p_j / m$ 并整理：

得到古诺加总恒等式（弹性形式）：

含义：价格 $p_j$ 变动时，所有商品需求变动的预算份额加权弹性之和等于商品 $j$ 预算份额的负值。该关系对每个 $j = 1, \dots, n$ 均成立，共提供 $n$ 个独立约束条件。

经济学含义

古诺加总恒等式揭示了一个根本性限制：消费者不可能在某种商品涨价时等比例地减少所有商品的消费。当 $p_j$ 上升，预算变得更紧张，消费者必须整体上削减实际消费。弹性加权和必须等于 $-w_j$——这一约束对经验研究中需求系统（如AIDS模型（Almost Ideal Demand System）、鹿特丹模型等）的参数估计施加了结构性限制。

若只考虑两种商品（$n=2$），由古诺加总恒等式可导出 Slutsky方程 的对称性条件与古诺互补-替代关系之间的关联。在经验产业组织中，该恒等式是检验需求系统是否与消费者最优化行为一致的关键检验条件之一。

与其他加总条件的关系

恩格尔加总恒等式：$\sum_i w_i \eta_i = 1$（$\eta_i$ 为收入弹性），约束收入变动时支出的分配。齐次性条件：$\sum_j \varepsilon_{ij} + \eta_i = 0$（需求函数对价格和收入的零次齐次性）。古诺加总关注价格跨商品效应，恩格尔加总关注收入效应，齐次性关注无货币幻觉。三者共同构成完整的加总约束体系，也是需求系统估计中参数识别和假设检验的基石。