合作博弈

合作博弈

合作博弈（Cooperative Game），又称联盟博弈（Coalitional Game），是博弈论的重要分支之一。与非合作博弈不同，合作博弈关注的是参与者之间能否达成有约束力的协议，以及联盟如何形成、联盟收益如何公平分配的问题。合作博弈的核心思想是：参与者可以通过合作创造比各自单干更多的总收益，而关键问题在于如何合理分配这些合作带来的额外收益。

基本概念

合作博弈由两个要素构成：参与者集合 $N = \{1, 2, \dots, n\}$ 和特征函数 $v: 2^N \to \mathbb{R}$。其中特征函数 $v(S)$ 表示任意联盟 $S \subseteq N$ 在不依赖其他参与者的情况下所能获得的最大总收益。通常假设 $v(\emptyset) = 0$。

一个重要的性质是超可加性（Superadditivity）：对于任意两个不相交的联盟 $S$ 和 $T$，有 $v(S \cup T) \geq v(S) + v(T)$。这意味着合并联盟至少不会减少总收益，合作是有利的。不过并非所有合作博弈都满足超可加性，实际中也可能存在负协同效应。

核心概念

核（Core）

核是合作博弈中最基本的解概念之一。一个分配向量 $x = (x_1, \dots, x_n)$ 属于核，当且仅当它满足：

• 个体理性（Individual Rationality）：$x_i \geq v(\{i\})$，即每个参与者得到的不少于其单干所得。
• 集体理性/帕累托最优：$\sum_{i \in N} x_i = v(N)$，即总收益全部分配完毕。
• 联盟理性（Coalition Rationality）：对任意联盟 $S$，$\sum_{i \in S} x_i \geq v(S)$，即任何联盟得到的都不少于其独立能获得的。

核的直观含义是"没有联盟有动机脱离大联盟而单干"。然而核可能是空集，尤其是在参与者较多或收益结构复杂时。

沙普利值（Shapley Value）

沙普利值由劳埃德·沙普利于1953年提出，是合作博弈中最重要的单值解。其核心思想是公平分配：每个参与者获得的收益等于其对所有可能联盟的边际贡献的平均值。公式为：

沙普利值满足四个公理：有效性（Efficiency）、对称性（Symmetry）、哑元性（Dummy Player）和可加性（Additivity）。这组公理确保了沙普利值是唯一满足上述条件的分配方式。

核仁（Nucleolus）

核仁由施迈德勒于1969年提出，是另一种重要的单值解。它通过最小化联盟的"不满程度"来寻找最稳定的分配。核仁总是存在且唯一，即使核为空集时核仁仍然存在，这使其在实际应用中非常有价值。

常见类型的合作博弈

单调博弈：若对任意 $S \subseteq T$ 有 $v(S) \leq v(T)$，则博弈是单调的。多数实际博弈满足单调性。

凸博弈：若对任意 $S, T$ 有 $v(S) + v(T) \leq v(S \cup T) + v(S \cap T)$，则博弈是凸的。凸博弈的核非空，且沙普利值位于核的中心位置。

简单博弈：特征函数只取0或1值的博弈，常用于投票权分析。典型例子是加权投票博弈，其中沙普利-舒比克权力指数（Shapley–Shubik Power Index）用于衡量投票者的实际影响力。

应用领域

合作博弈在经济学、政治学、计算机科学等领域有广泛应用。在经济学中用于分析企业联盟、卡特尔定价和供应链协调；在政治学中用于评估投票权分配；在计算机科学中用于成本分摊、网络连通性和机器学习中的特征重要性评估（如SHAP值正是基于沙普利值）。

与非合作博弈的关系

合作博弈与非合作博弈并非对立，而是互补视角。非合作博弈强调个体策略选择和纳什均衡，合作博弈则关注联盟形成和公平分配。同一问题可以从两个角度分析，例如讨价还价博弈既可以用非合作方式分析策略互动，也可以用合作方式分析分配方案。

总结

合作博弈为分析合作行为提供了严谨的数学框架。核、沙普利值和核仁等解概念从不同角度回答了"合作收益如何分配"这一核心问题。理解合作博弈有助于深入认识市场交易、制度设计和群体决策中的合作机制。