四分位数

四分位数 (Quartile)

四分位数 (Quartile) 是描述性统计学中的一个核心概念，它是一种特殊类型的分位数 (Quantile)。四分位数的功能是将一个已排序的数据集 (Dataset) 分割成四个相等的部分，每个部分包含大约25\%的数据点。通过计算四分位数，我们可以深入了解数据的中心趋势 (Central Tendency)、离散程度 (Dispersion) 和分布形态。

主要有三个四分位数：

• 第一四分位数 (First Quartile, Q1)：也称为下四分位数。此数值将数据中最小的25\%与其余的75\%分开。
• 第二四分位数 (Second Quartile, Q2)：此数值恰好是数据集的中位数 (Median)。它位于数据的正中央，将数据分为相等的两半。
• 第三四分位数 (Third Quartile, Q3)：也称为上四分位数。此数值将数据中最大的25\%与其余的75\%分开。

这三个点将整个数据集分成了四个区间，每个区间包含了约25\%的观测值。

计算方法

计算四分位数的第一步始终是将数据按升序排列。然而，关于如何精确确定Q1和Q3的位置，存在多种不同的计算方法。这里介绍一种在教学中广泛使用的方法（有时被称为"Tukey's hinges"或"独占中位数法"）。

通用步骤：

1. 排序：将数据集中的所有 $n$ 个观测值从最小到最大进行排序。
2. 计算Q2 (中位数)：如果数据点个数 $n$ 是奇数，Q2是位于正中间的那个数，其位置为 $\frac{n+1}{2}$。如果数据点个数 $n$ 是偶数，Q2是中间两个数的平均值，这两个数的位置分别为 $\frac{n}{2}$ 和 $\frac{n}{2}+1$。
3. 确定数据子集：将数据集根据中位数Q2分为"下半部分"和"上半部分"。在独占法中，中位数本身不包含在任何一个子集中。
4. 计算Q1和Q3：Q1是下半部分数据的中位数。Q3是上半部分数据的中位数。

示例 1: 数据点数量为奇数

假设我们有以下数据集 ($n=9$):

排序:

计算Q2 (中位数): $n=9$ 是奇数，中位数是第 $\frac{9+1}{2} = 5$ 个数据点。

划分数据子集:

• 下半部分 (不包含Q2): $\{ 6, 11, 15, 17 \}$
• 上半部分 (不包含Q2): $\{ 20, 23, 28, 42 \}$

计算Q1和Q3: Q1是下半部分 $\{ 6, 11, 15, 17 \}$ 的中位数。由于有4个数据，Q1是中间两个数的平均值:

Q3是上半部分 $\{ 20, 23, 28, 42 \}$ 的中位数。同样，Q3是中间两个数的平均值:

示例 2: 数据点数量为偶数

假设我们有以下数据集 ($n=10$):

排序:

计算Q2 (中位数): $n=10$ 是偶数，中位数是第 $\frac{10}{2}=5$ 和第 $\frac{10}{2}+1=6$ 个数据点的平均值。

划分数据子集: 由于中位数是计算出来的，没有原始数据点与之对应，数据被清晰地分为两半。

• 下半部分: $\{ 1, 3, 5, 7, 8 \}$
• 上半部分: $\{ 9, 10, 12, 14, 15 \}$

计算Q1和Q3: Q1是下半部分 $\{ 1, 3, 5, 7, 8 \}$ 的中位数。这是一个包含5个数据的子集，中位数是第3个数据:

Q3是上半部分 $\{ 9, 10, 12, 14, 15 \}$ 的中位数。同样，中位数是第3个数据:

注意: 不同的统计软件（如R, Python, Excel）可能使用不同的插值方法来计算四分位数，尤其是在处理小数据集时，结果可能存在微小差异。例如，一种常见方法是使用公式 $P = \frac{k}{4}(n+1)$ 来确定第 $k$ 个四分位数的位置，然后进行线性插值。学习者应了解方法的多样性，并在应用时保持一致。

应用与重要性

四分位数是统计分析中非常有用的工具，尤其体现在以下几个方面：

四分位距 (Interquartile Range, IQR)

四分位距是衡量数据变异性的一个重要且稳健的指标。它的计算公式为：

IQR描述了数据集中间50\%的数据所覆盖的范围。与全距 (Range) 相比，IQR不受数据两端异常值 (Outlier) 的影响，因此它是一种更为稳健的离散程度度量方法。在上面的示例1中，IQR为 $25.5 - 13 = 12.5$。

箱形图 (Box Plot)

箱形图是一种标准化的数据可视化方法，其构建完全依赖于四分位数。

• 箱体 (Box)：箱体的下边缘是Q1，上边缘是Q3。箱体的长度即为IQR。
• 中位线 (Median Line)：箱体内的一条线代表Q2 (中位数)。
• 须 (Whiskers)：从箱体两端延伸出的线段，通常延伸到数据集中的非异常值的最大值和最小值。一个常用的定义是，上须延伸到 $Q_3 + 1.5 \times \text{IQR}$ 范围内的最大数据点，下须延伸到 $Q_1 - 1.5 \times \text{IQR}$ 范围内的最小数据点。
• 异常值：任何超出须范围的数据点通常被视为异常值，并单独绘制。

箱形图通过视觉化展示了数据的中心、散布范围和偏度 (Skewness)，是比较不同数据集分布的有效工具。

五数概括 (Five-Number Summary)

五数概括是对数据集分布的简洁总结，它由以下五个统计量组成：

1. 最小值 (Minimum)
2. 第一四分位数 (Q1)
3. 中位数 (Q2)
4. 第三四分位数 (Q3)
5. 最大值 (Maximum)

这个概括提供了关于数据位置、散布和分布范围的即时信息，是进行探索性数据分析（EDA）的基础。

与其他分位数的关系

四分位数是更广泛的分位数概念的一个实例。它们与百分位数 (Percentile) 有直接的对应关系：

• $Q_1$ = 第25百分位数 ($P_{25}$)
• $Q_2$ = 第50百分位数 ($P_{50}$)，即中位数
• $Q_3$ = 第75百分位数 ($P_{75}$)

同样，十分位数 (Deciles) 将数据分为10个部分。在这种情况下，$Q_1$ 约等于第2.5个十分位数，$Q_2$ 是第5个十分位数。理解四分位数有助于掌握所有类型的分位数概念，这些概念在从金融风险管理到教育评估等众多领域都有广泛应用。