威尔科克森符号秩检验

威尔科克森符号秩检验 (Wilcoxon Signed-Rank Test)

威尔科克森符号秩检验（Wilcoxon Signed-Rank Test）是一种用于比较两个配对样本（paired samples）或重复测量数据之间差异的非参数检验方法。该检验由美国化学家兼统计学家弗兰克·威尔科克森（Frank Wilcoxon）于1945年提出，是统计学中最常用的配对非参数检验之一，常被视为配对t检验的非参数替代方案。与配对t检验不同，符号秩检验不要求数据服从正态分布，仅要求差异数据的分布具有对称性，因此在对数据分布形态不确定时具有更强的稳健性。

方法原理

威尔科克森符号秩检验的核心思想是：计算每对观测值的差值，忽略差值的符号将其绝对值排序（赋予秩次），然后将原始符号重新附加到秩次上，构造正秩和与负秩和作为检验统计量。其基本步骤如下：

第一，计算配对观测值之差 $d_i = x_i - y_i$，其中 $i = 1, 2, \ldots, n$，剔除差值为零的配对。第二，将非零差值的绝对值 $|d_i|$ 从小到大排序，赋予秩次 $r_i$（相同绝对值取平均秩）。第三，将符号重新附加到秩次上，得到带符号秩 $s_i = \text{sgn}(d_i) \cdot r_i$。第四，分别计算正秩和 $W^+ = \sum_{s_i > 0} s_i$ 与负秩和 $W^- = \sum_{s_i < 0} |s_i|$。检验统计量 $W = \min(W^+, W^-)$，在小样本下参照精确分布表，在大样本下则利用正态近似进行推断。

假设设定

双侧检验的原假设为 $H_0:$ 配对差值分布的中位数为零，即 $M_d = 0$；备择假设为 $H_1: M_d \neq 0$。单侧检验可检验差值中位数是否大于或小于零。值得注意的是，该检验实际上检验的是差值分布关于零的对称性——如果差值分布的中位数为零且分布对称，则正秩和与负秩和应大致相等。

大样本近似与效应量

当样本量 $n \geq 20$ 时，在 $H_0$ 下统计量 $W^+$ 的分布近似于正态分布，其均值为 $\mu_W = n(n+1)/4$，方差为 $\sigma_W^2 = n(n+1)(2n+1)/24$。当数据中存在结（ties，即相同的绝对差值）时，需对方差进行校正：$\sigma_W^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{24} - \frac{\sum t_j^3 - \sum t_j}{48}$，其中 $t_j$ 为第 $j$ 个结组的大小。

常用的效应量指标包括：$r = Z / \sqrt{n}$（其中 $Z$ 为标准化检验统计量），以及匹配秩双列相关（matched-pairs rank biserial correlation）$r_c = 1 - \frac{4W}{n(n+1)}$。这些效应量可参照 Cohen 的标准进行解读：0.1（小效应）、0.3（中效应）、0.5（大效应）。

与相关方法的比较

威尔科克森符号秩检验与以下几种方法密切相关：

符号检验（Sign Test）更早（Arbuthnott, 1710）但仅利用差值的符号信息而忽略其大小，统计效率较低。配对t检验利用差值的具体数值而非秩次，在数据满足正态性假设时具有最优功效（一致性最优无偏检验），但偏离正态假设时其第一类错误率可能失控。威尔科克森符号秩检验在正态分布下的渐近相对效率（ARE）约为 0.955，意味着它仅以约 4.5\% 的功效损失换取了广泛的稳健性。

对于独立（非配对）两组样本的比较，应使用曼-惠特尼U检验（Mann-Whitney U Test，亦称 Wilcoxon Rank-Sum Test），而非符号秩检验。

应用场景与注意事项

威尔科克森符号秩检验广泛应用于生物统计学、心理学、经济学和医学研究等领域中的配对设计实验，例如：同一组受试者在干预前后的测量值对比、两种不同测量方法在同一批样本上的结果比较、以及匹配组设计中的配对比较。

使用该检验时需注意：第一，虽不要求正态性，但要求差值分布大致对称——若分布严重偏斜，符号秩检验的功效会下降，此时可考虑符号检验。第二，样本量过小（$n < 6$）时检验功效极为有限，且无法在通常的显著性水平下拒绝原假设。第三，存在大量结时检验的精确性会受影响，应优先使用带结校正的版本或精确条件分布。

威尔科克森符号秩检验以其简洁的假设条件和良好的稳健性，成为非参数统计工具箱中最基础也最有力的工具之一，在数据分析实践中具有不可替代的地位。