子博弈

子博弈 (Subgame)

子博弈（Subgame）是博弈论中用于分析动态博弈或序贯博弈的核心概念，指从原博弈的某个决策节点开始，包含该节点之后所有可能路径、收益及信息结构的完整博弈片段。子博弈的概念为精炼纳什均衡提供了关键分析框架，排除那些依赖于不可信威胁或非序贯理性行为的均衡。

形式化定义与子博弈完美均衡

考虑扩展式博弈（博弈树表示）中的历史即决策节点 $h$，从 $h$ 可开始一个子博弈当且仅当满足三个条件。单节点信息集要求节点 $h$ 必须为单节点信息集，在 $h$ 处行动的参与者确切知道自身处于 $h$ 而非信息集中其他节点，即 $I(h) = \{h\}$。封闭性要求从 $h$ 始后续路径上所有可达节点及其后续必须包含在子博弈中。信息结构保持要求子博弈中各节点信息集结构与原博弈一致。满足条件时，从 $h$ 开始的子博弈记作 $G(h)$，为原博弈 $G$ 的真子博弈。

子博弈完美均衡（SPE）是由莱茵哈德·泽尔腾提出的均衡精炼概念。策略组合 $\sigma^*$ 是子博弈完美均衡当且仅当对博弈每一个子博弈（包括原博弈本身），$\sigma^*$ 在子博弈上的限制构成该子博弈的纳什均衡。核心在于序贯理性：参与者的策略在每一个决策节点上都必须是最优反应，即使这些节点在均衡路径上不会被实际到达，从而排除了空洞威胁和不可信承诺所支撑的纳什均衡。

逆向归纳法与应用

对完美信息的有限博弈（每个信息集为单节点的有限期博弈），子博弈完美均衡通过逆向归纳法求解。从博弈树终端节点开始，首先确定最后决策节点参与者的最优选择，然后将最优选择对应收益作为节点价值并"剪除"之后分支，将该节点转化为终端节点。接着递归向前推进至初始节点，最终路径和各节点最优选择构成（通常唯一）的子博弈完美均衡。逆向归纳法的逻辑基础在于，有限完美信息博弈中最后行动者面临简单单人决策问题，解决后倒数第二者知最后者行为，依次类推，逐层求解。

子博弈的概念在产业组织理论中广泛应用。斯塔克伯格模型（序贯产量决策）的子博弈完美均衡为先动者选择高产量、后动者最优反应，区别于古诺同时决策。在谈判理论和重复博弈中，触发策略的子博弈完美性要求：即使偏离未发生，沿均衡路径策略在所有子博弈中仍为最优反应。子博弈和SPE是博弈论精炼体系的基石，后续发展出序贯均衡和完美贝叶斯均衡等概念，为分析策略互动中可信性与时间一致性问题提供了方法论基础。