常微分方程

常微分方程 (Ordinary Differential Equations)

常微分方程（ODE）是包含未知一元函数及其导数的方程，是数理经济学、动态优化与宏观经济学的核心工具。一般形式 $F(x, y, y', \ldots, y^{(n)}) = 0$，$y = y(x)$ 为未知函数，$y^{(k)}$ 为其 $k$ 阶导数。ODE 仅涉及单一自变量，区别于偏微分方程（PDE）。

分类与基本概念

• 阶：最高阶导数的阶数。一阶形如 $y' = f(x, y)$。
• 线性 vs 非线性：未知函数及导数均为一次幂者为线性。一阶线性标准形：$y' + P(x)y = Q(x)$。
• 齐次 vs 非齐次：非齐次通解 = 齐次通解 + 特解（叠加原理）。
• 自治系统：$y' = f(y)$ 不显含 $x$，广泛用于经济动态分析。
• 初值问题 (IVP) 与 边值问题 (BVP)：分别给定单点初始条件与多点边界条件。

一阶 ODE 解法

1. 分离变量法：若 $y' = g(x)h(y)$，则 $\int dy/h(y) = \int g(x)\,dx$。
2. 一阶线性方程：积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$，通解 $y = \frac{1}{\mu(x)}\left[\int \mu(x)Q(x)\,dx + C\right]$。
3. 恰当方程：$Mdx + Ndy = 0$ 满足 $\partial M/\partial y = \partial N/\partial x$，存在势函数 $\Phi(x,y) = C$。
4. 变量代换：伯努利方程令 $v = y^{1-n}$ 化为线性；齐次型 $y' = f(y/x)$ 令 $v = y/x$。

二阶线性常系数 ODE

形如 $ay'' + by' + cy = g(x)$（$a \neq 0$）在索洛增长模型与周期理论中频繁出现。齐次解由特征方程 $ar^2 + br + c = 0$ 决定：

• 不等实根 $r_1 \neq r_2$：$y_h = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
• 重根 $r$：$y_h = (C_1 + C_2 x)e^{rx}$
• 共轭复根 $\alpha \pm i\beta$：$y_h = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$

非齐次特解 $y_p$ 用待定系数法或常数变易法求得，通解 $y = y_h + y_p$。

线性 ODE 系统与稳定性

一阶系统 $\mathbf{y}' = A\mathbf{y} + \mathbf{b}$ 的解由 $A$ 的特征值与特征向量刻画：

若所有 $\operatorname{Re}(\lambda_i) < 0$ 则渐近稳定。相位图分析是动态系统定性研究的核心方法。Picard-Lindelöf 定理保证 Lipschitz 连续条件下初值问题解的存在唯一性。

经济学应用

• 索洛增长模型：资本积累 $\dot{k} = sf(k) - (n+g+\delta)k$ 为一阶自治 ODE，稳态与收敛性依赖定性理论。
• 拉姆齐模型：欧拉方程 $\dot{c}/c = (f'(k) - \rho - \theta g)/\theta$ 与资本动态联立为二维系统，鞍点路径即最优消费策略。
• 蛛网模型：价格动态连续近似为一阶 ODE，收敛取决于供需弹性之比。
• 最优控制：Pontryagin 原理导出 Hamiltonian 系统，分析政策与跨期配置。
• Black-Scholes-Merton模型：经变量代换化为 ODE 求解。

数值方法

非线性 ODE 多无解析解。基本方法：Euler 法 $y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)$（一阶）；Runge-Kutta (RK4)（四阶，四次求值/步）；Adams-Bashforth/Moulton 多步法。刚性方程需隐式方法（后向 Euler、BDF）。DSGE模型求解普遍依赖上述方法。