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应力

应力 (Stress) 应力是连续介质力学中最核心的概念之一，定量描述物体内部各部分之间通过接触面相互作用的内力强度。当可变形体受外部载荷作用时，其内部任意假想截面两侧的材料间会产生分布内力，该内力在单位面积上的集度即为应力。应力的引入使工程师能够在连续介质假设下以空间坐标的连续函数刻画材料内部的力学状态，从而建立弹性力学、塑性力学、断裂力学等分支学科的完整

浏览 0 更新 2025-07-15

应力 (Stress)

应力是连续介质力学中最核心的概念之一，定量描述物体内部各部分之间通过接触面相互作用的内力强度。当可变形体受外部载荷作用时，其内部任意假想截面两侧的材料间会产生分布内力，该内力在单位面积上的集度即为应力。应力的引入使工程师能够在连续介质假设下以空间坐标的连续函数刻画材料内部的力学状态，从而建立弹性力学、塑性力学、断裂力学等分支学科的完整理论框架。

定义与数学表述

设物体内部过点 PP 的任一假想截面，其外向单位法向量为 n\mathbf{n}，截面上的内力合力为 ΔF\Delta\mathbf{F}，截面面积为 ΔA\Delta A。当 ΔA\Delta A 趋近于零时，应力向量（牵引力）定义为：

T(n)=lim⁡ΔA→0ΔFΔA=dFdA\mathbf{T}^{(\mathbf{n})} = \lim_{\Delta A \to 0} \frac{\Delta\mathbf{F}}{\Delta A} = \frac{d\mathbf{F}}{dA}

该向量可分解为垂直于截面的正应力 σ\sigma 和平行于截面的剪应力 τ\tau：

σ=T(n)⋅n,τ=∣T(n)∣2−σ2\sigma = \mathbf{T}^{(\mathbf{n})} \cdot \mathbf{n}, \qquad \tau = \sqrt{|\mathbf{T}^{(\mathbf{n})}|^2 - \sigma^2}

正应力区分拉应力（正值）和压应力（负值）。应力的国际单位为帕斯卡（Pa=N/m2\mathrm{Pa} = \mathrm{N}/\mathrm{m}^2），工程中常用 MPa\mathrm{MPa}（106 Pa10^6\,\mathrm{Pa}）。

柯西应力张量

为完整描述一点的应力状态，需引入柯西应力张量 σ\boldsymbol{\sigma}。在正交坐标系中表示为：

\boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix}

σ11\sigma_{11} \& σ12\sigma_{12} \& σ13\sigma_{13} \\ σ21\sigma_{21} \& σ22\sigma_{22} \& σ23\sigma_{23} \\ σ31\sigma_{31} \& σ32\sigma_{32} \& σ33\sigma_{33}

\end{bmatrix}

对角元素为正应力分量，非对角元素为剪应力分量。由力矩平衡可得剪应力互等定理 σij=σji\sigma_{ij} = \sigma_{ji}，九个分量中仅六个独立。通过柯西公式 T(n)=σ⋅n\mathbf{T}^{(\mathbf{n})} = \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{n} 可将任意方向截面上的应力向量求出。

主应力与应力不变量

应力张量经特征值分解得到三个主应力 σ1,σ2,σ3\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3（按代数值降序排列 σ1≥σ2≥σ3\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3）。主方向上仅有正应力无剪应力。三个应力不变量为：

I1=σ11+σ22+σ33=σ1+σ2+σ3I2=σ11σ22+σ22σ33+σ33σ11−σ122−σ232−σ312I3=det⁡(σ)=σ1σ2σ3\begin{aligned} I_1 &= \sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33} = \sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3 \\ I_2 &= \sigma_{11}\sigma_{22} + \sigma_{22}\sigma_{33} + \sigma_{33}\sigma_{11} - \sigma_{12}^2 - \sigma_{23}^2 - \sigma_{31}^2 \\ I_3 &= \det(\boldsymbol{\sigma}) = \sigma_1\sigma_2\sigma_3 \end{aligned}

不变量在坐标变换下数值不变，因此可用于构造客观的失效判据。

莫尔圆与平面应力

平面应力状态下（σ33=σ13=σ23=0\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0），莫尔应力圆提供了直观的图形分析。任意方向截面的 (σ,τ)(\sigma, \tau) 均落在圆上：

(σ−σx+σy2)2+τ2=(σx−σy2)2+τxy2\left(\sigma - \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau^2 = \left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2

圆心 (σx+σy2,0)\left(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0\right)，半径 (σx−σy2)2+τxy2\sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}。莫尔圆与 σ\sigma 轴交点为两个主应力，最大剪应力出现在与主方向成 45∘45^\circ 的截面上。

平衡方程

静力平衡下柯西应力张量满足偏微分方程：

∂σij∂xj+bi=0(i=1,2,3)\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + b_i = 0 \quad (i = 1,2,3)

其中 bib_i 为单位体积体力。此方程与几何方程和本构方程构成弹性力学边值问题的三大支柱。

屈服准则

材料在复杂应力下何时屈服由强度理论给出。两种经典准则为：

特雷斯卡准则（最大剪应力准则）：

τmax⁡=σ1−σ32≥σY2\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \ge \frac{\sigma_Y}{2}

冯·米塞斯准则（畸变能准则）：

σVM=(σ1−σ2)2+(σ2−σ3)2+(σ3−σ1)22≥σY\sigma_{\text{VM}} = \sqrt{\frac{(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2}{2}} \ge \sigma_Y

冯·米塞斯等效应力 σVM\sigma_{\text{VM}} 在塑性理论和有限元分析中广泛应用。在线弹性范围内，一维情况满足胡克定律 σ=Eε\sigma = E\varepsilon。

应用

应力分析是机械工程、土木工程和航空航天结构设计的核心。通过有限元法等数值方法可对复杂几何和载荷条件下的应力场进行精细求解。残余应力对焊接构件和加工零件的疲劳性能有显著影响，是制造工艺优化的重要考量因素。