影子价格

影子价格 (Shadow Price)

影子价格（对偶变量/拉格朗日乘数）是在受约束优化问题中放松约束一单位时最优目标函数值的变化量。代表稀缺资源的边际价值或约束的机会成本——非市场直接交易"影子"价格，而是通过计算得出的内在价值。仅当资源被完全用尽时影子价格才可能大于零（约束性资源/有效约束）。

线性规划对偶推导

原始最大化问题：$\max Z = \sum c_i x_i$，s.t. $\sum a_{ji}x_i \le b_j$，$x_i\ge0$。对偶最小化问题引入对偶变量$y_j$（影子价格）：

强对偶定理：$Z_{\max} = W_{\min}$。最优对偶解 $y_j^* = \partial Z_{\max}/\partial b_j$（目标函数对约束常数的偏导数）。

计算示例

工厂产桌子(T)和椅子(C)。利润：T=80 USD，C=60 USD。木材：$4T+2C\le60$，工时：$2T+4C\le48$。解：T=12，C=6→$P_{\max}=1320$ USD。对偶建立（设$y_w$木材影价，$y_l$工时影价）：$\min 60y_w+48y_l$ s.t. $4y_w+2y_l\ge80$，$2y_w+4y_l\ge60$。互补松弛性：T>0,C>0→约束取等号→$y_w=50/3\approx16.67$，$y_l=20/3\approx6.67$。

解释：额外一单位木材→利润增16.67 USD（低于此价购入有利）；额外一小时→利润增6.67 USD（加班费低于此率高则可）。影子价格仅在敏感性分析确定的有效范围内适用。

应用

资源配置（识别最有价值资源优先供给）；成本效益分析（评估扩大产能效益）；产品定价参考；经济学延伸→无市场价格的物品估值（清洁空气/生物多样性的边际社会成本）。