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恒定绝对风险厌恶

定义 恒定绝对风险厌恶（Constant Absolute Risk Aversion，简称CARA）是风险决策理论中一类重要的效用函数特征，其核心性质是决策者的绝对风险厌恶系数不随财富水平的变化而改变。在期望效用理论框架下，CARA效用函数通常取指数形式 u(x) = -e^- x ，其中 > 0 为绝对风险厌恶系数， x 代表财富水平。该函数的二阶导数与

浏览 0 更新 2026-07-17

定义

恒定绝对风险厌恶（Constant Absolute Risk Aversion，简称CARA）是风险决策理论中一类重要的效用函数特征，其核心性质是决策者的绝对风险厌恶系数不随财富水平的变化而改变。在期望效用理论框架下，CARA效用函数通常取指数形式 u(x)=−e−αx u(x) = -e^{-\alpha x} ，其中 α>0 \alpha > 0 为绝对风险厌恶系数，x x 代表财富水平。该函数的二阶导数与一阶导数之比的负值——即Arrow-Pratt绝对风险厌恶测度 A(x)=−u′′(x)/u′(x) A(x) = -u''(x)/u'(x) ——恰好恒等于 α \alpha ，与财富 x x 无关。这一特性使得CARA成为经济分析中处理不确定性问题的基础工具之一，广泛应用于保险定价、资产组合选择、拍卖理论和委托代理模型等领域。与恒定相对风险厌恶（CRRA）不同，CARA假设经济主体对风险的绝对态度与自身财富水平无关，这一假设在分析某些特定市场结构时具有明显的数学便利性。

数学性质与推导

CARA效用函数 u(x)=−e−αx u(x) = -e^{-\alpha x} 的一阶导数为 u′(x)=αe−αx>0 u'(x) = \alpha e^{-\alpha x} > 0 ，二阶导数为 u′′(x)=−α2e−αx<0 u''(x) = -\alpha^2 e^{-\alpha x} < 0 ，满足新古典偏好中非饱和性与严格风险规避的基本要求。将二者代入Arrow-Pratt绝对风险厌恶测度公式可得：

A(x)=−u′′(x)u′(x)=−−α2e−αxαe−αx=αA(x) = -\frac{u''(x)}{u'(x)} = -\frac{-\alpha^2 e^{-\alpha x}}{\alpha e^{-\alpha x}} = \alpha

该结果与财富水平 x x 无关，体现了"恒定"的含义。CARA效用函数的另一个关键数学性质是它属于双曲线绝对风险厌恶（HARA）族的一个特例。HARA族的一般形式为 u(x)=1−γγ(αx1−γ+β)γ u(x) = \frac{1-\gamma}{\gamma}\left(\frac{\alpha x}{1-\gamma} + \beta\right)^\gamma ，当 γ→−∞ \gamma \to -\infty 时便退化为CARA形式。此外，CARA效用函数具有常数的谨慎度（prudence）指标 P(x)=−u′′′(x)/u′′(x)=α P(x) = -u'''(x)/u''(x) = \alpha ，这意味着风险规避和预防性储蓄动机均不随财富变化而变化。

在风险溢价的计算中，CARA假设也展现出简洁性。对于任意加性风险 ε~ \tilde{\varepsilon} （均值为零），CARA决策者所要求的风险溢价 π \pi 满足 E[u(x+ε~)]=u(x−π) E[u(x+\tilde{\varepsilon})] = u(x - \pi) 。将效用函数的具体形式代入展开可得 π=α2σε2 \pi = \frac{\alpha}{2}\sigma^2_{\varepsilon} ，其中 σε2 \sigma^2_{\varepsilon} 是风险的方差。风险溢价与初始财富水平无关，仅取决于风险厌恶系数和风险本身的大小，这是CARA模型最显著的行为预测。

与CRRA的比较

CARA与恒定相对风险厌恶（CRRA）构成了风险偏好建模的两大基准。CRRA效用函数通常取幂函数形式 u(x)=x1−γ/(1−γ) u(x) = x^{1-\gamma}/(1-\gamma) ，其相对风险厌恶系数 R(x)=−x⋅u′′(x)/u′(x)=γ R(x) = -x\cdot u''(x)/u'(x) = \gamma 为常数，但绝对风险厌恶系数 A(x)=γ/x A(x) = \gamma/x 随财富增加而递减。CRRA假设意味着富裕个体对给定绝对金额的风险容忍度更高，这一特征在实证层面得到了广泛支持——现实中高净值投资者确实更愿意承担固定金额的赌博风险。CARA则预测无论贫富，决策者对固定金额赌博的态度保持一致，这一假设在直觉上不如CRRA符合经验观察。然而，CARA在数学上的便利性使其在某些分析场景中不可替代：当财富水平的变化范围较小或决策问题仅涉及加性风险时，CARA的近似精度仍然可以接受。两种模型的选择本质上是理论简洁性与经验现实性之间的权衡。

在保险市场中的应用

CARA效用函数在保险经济学的经典分析中占据核心地位。考虑一个风险厌恶的投保人拥有初始财富 w w ，面临发生概率为 p p 的损失 L L 。若保险公司提供保费为 Π \Pi 的全额保险合约，投保人在CARA效用下的期望效用为 (1−p)(−e−αw)+p(−e−α(w−L)) (1-p)(-e^{-\alpha w}) + p(-e^{-\alpha (w-L)}) 。购买保险后的效用为 −e−α(w−Π) -e^{-\alpha (w-\Pi)} 。通过求解无差异条件，可得出投保人愿意支付的最高保费为 Πmax⁡=1αln⁡(1−p+peαL) \Pi_{\max} = \frac{1}{\alpha}\ln\left(1-p+pe^{\alpha L}\right) 。该保费与初始财富 w w 无关，简化了保险供需双方的优化问题。利用CARA的这一性质，经典的罗斯柴尔德-斯蒂格利茨模型可以更清晰地刻画逆向选择下分离均衡的存在条件。当保险公司也是风险中性时，CARA假设确保了存在唯一的线性定价均衡，且保险合约的设计不依赖于投保人的财富分布，这在实证分析中极大地降低了参数估计的复杂性。

在资产组合理论中的应用

在资产组合选择领域，CARA效用函数与正态分布假设的结合产生了均值-方差分析的严格理论基础。若风险资产的收益率服从联合正态分布，则CARA投资者的期望效用最大化问题等价于均值-方差框架中的效用最大化。具体而言，CARA投资者的目标函数可写为 max⁡ωE[−e−αW~] \max_{\omega} E[-e^{-\alpha \tilde{W}}] ，其中 W~=W0(1+rf+ω′(r~−rf)) \tilde{W} = W_0(1+r_f + \omega'(\tilde{r}-r_f)) 为期末财富，ω \omega 为风险资产组合权重向量。在正态分布假设下，该问题简化为 max⁡ωαW0ω′(μ−rf)−α2W022ω′Σω \max_{\omega} \alpha W_0\omega'(\mu - r_f) - \frac{\alpha^2 W_0^2}{2}\omega'\Sigma\omega ，其一阶条件给出最优风险资产权重 ω∗=1αW0Σ−1(μ−rf) \omega^* = \frac{1}{\alpha W_0}\Sigma^{-1}(\mu - r_f) 。值得注意的是，风险资产的总投资金额 W0ω∗=1αΣ−1(μ−rf) W_0 \omega^* = \frac{1}{\alpha}\Sigma^{-1}(\mu - r_f) 与初始财富 W0 W_0 无关，这意味着CARA投资者的风险资产持有额是绝对固定的，不随财富增长而增加。这一结论——被称为"无财富效应"——是CARA模型的标志性特征，也与现实中投资者随财富增加而增加风险暴露的行为模式有所出入。

在拍卖理论和机制设计中的应用

CARA效用函数在拍卖理论和最优机制设计中也发挥着重要作用。在独立私人价值模型中，若竞拍者具有CARA偏好，则其均衡出价策略往往具有封闭解，便于进行收入比较和效率分析。例如，在对称第一价格密封拍卖中，CARA竞拍者的均衡出价函数可以表示为价值的显式函数，从而避免了CRRA假设下需要数值求解的麻烦。Myerson的最优拍卖设计同样受益于CARA简化——当买方的效用函数为CARA时，虚拟估值函数（virtual valuation function）的单调性条件更容易验证，最优保留价格的确定也更为直观。此外，在非线性定价和合约理论中，CARA假设使激励相容约束的一阶条件可以分解为与财富水平无关的独立部分，极大地便利了最优合约的求解。这类数学简化虽然以牺牲行为现实性为代价，但在理论模型的早期构建和比较静态分析中具有重要价值。

局限性与扩展

CARA模型的主要局限在于其行为预测与实证证据之间的偏离。大量实验经济学和计量经济学研究表明，个体在面对不确定性时倾向于展现出递减绝对风险厌恶（DARA）——即随着财富增加，对固定金额的风险容忍度上升。CARA无法捕捉这一模式，因此在对高财富变动幅度的长期投资决策进行建模时可能导致系统性偏差。此外，CARA效用函数对负财富水平未施加特殊限制，但指数函数在 x→−∞ x \to -\infty 时的效用趋近于负无穷，这一性质在某些涉及破产风险的问题中可能造成理论上的处理困难。为弥补这些不足，经济学家发展了一系列推广模型。最常见的做法是将CARA嵌入双曲线绝对风险厌恶（HARA）族中，在保持部分数学便利性的同时引入财富依赖的风险态度。另一种思路是将CARA与非期望效用理论结合，如引入损失厌恶或概率加权函数，以捕捉更为丰富的风险决策行为。在实证应用中，研究者可以通过在回归模型中加入财富与风险态度的交互项来检验DARA假说，从而决定是否应拒绝CARA的静态假设。

总结

恒定绝对风险厌恶是微观经济学和金融经济学中最基础的风险偏好假设之一。其指数型效用函数因Arrow-Pratt绝对风险厌恶测度为常数而具备卓越的数学可操作性，在保险理论、资产定价、拍卖设计和合约理论等领域形成了丰富的理论成果。CARA模型的简洁性使其特别适合作为理论分析的出发点，它为理解风险分担、最优保险和投资组合选择等核心问题提供了清晰的基准框架。然而，CARA对风险态度不随财富变化的核心假设在实证层面面临挑战，越来越多的研究倾向于采用更具弹性的风险偏好设定——如CRRA或HARA——来替代CARA。尽管如此，CARA模型所确立的分析方法和直觉在当代经济学研究中依然具有不可替代的参考价值，对它的深入理解是掌握现代风险决策理论的必要前提。