拟凸

拟凸 (Quasiconvexity)

拟凸性 (Quasiconvexity) 是数学分析和最优化理论中的一个重要概念，它描述了一类比凸性 (Convexity) 更为宽泛的函数 (function) 性质。在经济学中，拟凸和与其相关的拟凹概念在分析消费者偏好和生产技术时扮演着核心角色。

一个函数被称为 拟凸函数 (Quasiconvex Function)，如果其所有的 下水平集 (Lower Level Sets) 都是凸集 (Convex Sets)。

形式化定义

设有定义在凸集 $S \subseteq \mathbb{R}^n$ 上的实值函数 $f: S \to \mathbb{R}$。以下两种定义是等价的：

定义 1 (基于水平集): 函数 $f$ 是拟凸的，如果对于任意实数 $\alpha \in \mathbb{R}$，其下水平集

都是一个凸集。

这意味着，如果点 $x$ 和点 $y$ 都在一个特定的下水平集中（即 $f(x) \leq \alpha$ 且 $f(y) \leq \alpha$），那么连接 $x$ 和 $y$ 的整个线段上的任意一点 $z = \lambda x + (1-\lambda)y$（其中 $\lambda \in [0, 1]$）也必定在该下水平集中（即 $f(z) \leq \alpha$）。

定义 2 (基于函数值不等式): 函数 $f$ 是拟凸的，如果对于任意的 $x, y \in S$ 和任意的 $\lambda \in [0, 1]$，以下不等式成立：

这个不等式直观地说明，在任意两点之间的线段上，函数的取值不会超过这两点函数值的最大值。这与凸函数的定义 $f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)$ 形成了鲜明对比：凸性要求函数值不超过加权平均值，而拟凸性只要求不超过最大值，条件更为宽松。

与凸函数的关系

拟凸性是凸性的一个重要推广，二者之间有着明确的层级关系。

所有凸函数都是拟凸函数。 这是因为对于一个凸函数，我们有 $f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)$。而任意两数 $f(x)$ 和 $f(y)$ 的加权平均 $\lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)$ 总是小于或等于它们的最大值 $\max\{f(x), f(y)\}$。因此，以下关系链成立：

所以，满足凸性定义的函数必然满足拟凸性的定义。

拟凸函数不一定是凸函数。 这是两者最关键的区别。拟凸函数允许出现"平坦"区域，甚至可以是不连续的，而这些行为通常会破坏函数的凸性。

示例:

• 函数 $f(x) = \sqrt{|x|}$ 对 $x \in \mathbb{R}$ 是一个拟凸函数，但它不是凸函数。它的下水平集是形如 $[ -a, a ]$ 的闭区间，是凸集。但它在原点附近的变化不满足凸性的要求。
• 向上取整函数 $f(x) = \lceil x \rceil$ 是一个非递减的阶梯函数。它是拟凸的，因为它的下水平集是形如 $(-\infty, a]$ 的区间（凸集）。但它显然不是凸函数。
• 任何单调（非递减或非递增）的一元函数都是拟凸的。例如 $f(x) = x^3$ 在整个实数域上是拟凸且拟凹的，但它在 $x<0$ 的区域是凹的，在 $x>0$ 的区域是凸的，因此在整个定义域上既不凸也不凹。

从几何上看，凸函数图像的弦（连接曲线上两点的线段）必须位于曲线的上方。而对于拟凸函数，没有这样的要求。拟凸函数只要求其"山谷"不能有多个分离的底部，即所有低于某一水平的点必须形成一个连通的凸区域。

拟凸函数的性质

• 最优化：在最优化问题中，拟凸性是一个非常有用的性质。对于一个定义在凸集上的 严格拟凸函数 (Strictly Quasiconvex Function)，任何局部最小值都必然是它的全局最小值。这大大简化了寻优过程。然而，对于非严格的拟凸函数，可能存在一个平坦的区域，使得有无穷多个非全局的局部最小值。
• 和与复合：两个拟凸函数的和不一定是拟凸的（这与凸函数不同）。但是，如果 $g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 是拟凸的，而 $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是一个非递减函数，则复合函数 $f(x) = h(g(x))$ 是拟凸的。
• 最大值：一系列拟凸函数的逐点最大值（pointwise maximum）也是拟凸的。
• 下水平集的凸性：下水平集的凸性是拟凸函数的充要条件。也就是说，若一个函数的所有下水平集都是凸集，则该函数必然是拟凸函数；反之亦然。这一刻画在理论和应用中都具有重要意义。
• 拟凸性与单调变换：拟凸性在单调递增变换下保持不变。具体而言，若 $f$ 是拟凸函数，$g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是单调非递减函数，则 $g \circ f$ 也是拟凸函数。这一性质使得拟凸性在序数效用理论中格外有用。

相关的概念

拟凹函数 (Quasiconcave Function)

与拟凸性相对应的是 拟凹性 (Quasiconcavity)。一个函数 $f$ 被称为 拟凹函数，如果其 上水平集 (Upper Level Sets) 是凸集。

定义: 函数 $f: S \to \mathbb{R}$ 是拟凹的，如果对于任意实数 $\alpha$，其上水平集

都是一个凸集。

等价地，对于任意的 $x, y \in S$ 和任意的 $\lambda \in [0, 1]$，以下不等式成立：

一个函数 $f$ 是拟凹的，当且仅当 $-f$ 是一个拟凸函数。

在微观经济学中，拟凹性比拟凸性更常见。例如，一个具有良好性质的效用函数通常被假定为拟凹的。这意味着如果消费者对商品束 $x$ 和 $y$ 的偏好是无差异的（或 $x$ 和 $y$ 提供了至少为 $\alpha$ 的效用），那么这些商品束的任意加权平均组合 $z = \lambda x + (1-\lambda)y$ 将提供至少与 $x$ 和 $y$ 中较差者一样高（通常是更高）的效用。这对应了经济学中"偏好平均胜过极端"的凸偏好假设，其几何表现为无差异曲线凸向原点。

伪凸函数 (Pseudoconvex Function)

在可微函数的研究中，还有一个介于凸性和拟凸性之间的概念，称为 伪凸性 (Pseudoconvexity)。 一个在开凸集 $S$ 上可微的函数 $f$ 被称为伪凸函数，如果对于任意 $x, y \in S$，满足：

其中 $\nabla f(x)$ 是 $f$ 在点 $x$ 的梯度。这个性质意味着，如果函数在点 $x$ 沿着指向 $y$ 的方向是"非递减"的，那么 $y$ 点的函数值一定不会小于 $x$ 点的函数值。

所有可微的凸函数都是伪凸函数，所有伪凸函数都是拟凸函数。因此三者之间形成了严格的包含关系：

伪凸性的概念在KKT条件等最优化理论中非常关键，因为它保证了任何满足 $\nabla f(x^*) = 0$ 的驻点 $x^*$ 都是全局最小值，这一性质对于一般的拟凸函数并不成立。

经济学中的应用

在经济学中，拟凸和拟凹概念有着广泛的应用。在生产者理论中，成本函数通常被假定为关于产出水平的拟凸函数，这反映了边际成本递增的规律。在消费者理论中，间接效用函数关于价格是拟凸的，而支出函数关于价格是拟凹的。这些性质在比较静态分析和福利经济学中扮演着基础性角色。