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方差分析

方差分析 (ANOVA) 方差分析由罗纳德·费雪提出，核心为检验三组及以上均值是否存在显著差异。将总变异分解为组间和组内两部分： SST = SSB + SSW。 核心公式 组间均方 MSB = SSB/(k-1)，组内均方 MSW = SSW/(N-k)。检验统计量 F = MSB/ MSW（服从 F(k-1, N-k)）。 H_0: _1 = = _k

浏览 75 更新 2025-10-26

方差分析 (ANOVA)

方差分析由罗纳德·费雪提出，核心为检验三组及以上均值是否存在显著差异。将总变异分解为组间和组内两部分：SST=SSB+SSW\mathrm{SST} = \mathrm{SSB} + \mathrm{SSW}。

核心公式

SST=∑i∑j(yij−yˉ)2,  SSB=∑ni(yˉi−yˉ)2,  SSW=∑i∑j(yij−yˉi)2\mathrm{SST} = \sum_{i}\sum_{j}(y_{ij}-\bar{y})^2,\; \mathrm{SSB} = \sum n_i(\bar{y}_i-\bar{y})^2,\; \mathrm{SSW} = \sum_{i}\sum_{j}(y_{ij}-\bar{y}_i)^2

组间均方 MSB=SSB/(k−1)\mathrm{MSB} = \mathrm{SSB}/(k-1)，组内均方 MSW=SSW/(N−k)\mathrm{MSW} = \mathrm{SSW}/(N-k)。检验统计量 F=MSB/MSWF = \mathrm{MSB}/\mathrm{MSW}（服从 F(k−1,N−k)F(k-1, N-k)）。

H0:μ1=⋯=μkH_0: \mu_1 = \dots = \mu_k vs HaH_a：至少两个不等。若H0H_0真则F≈1，若真则F>>1。决策：p值<α\alpha（0.05）或F>临界值则拒H0H_0。

假设与事后检验

三假设：独立性（观测值相互独立）、正态性（残差正态分布，大样本下因中心极限定理稳健）、方差齐性（各组方差齐，Levene检验/Bartlett检验验证；不齐可进行变换或用Welch's ANOVA）。

ANOVA显著后需事后检验确定具体哪些组有差异：Tukey's HSD（等样本推荐）、Bonferroni校正（保守）、Scheffé's方法（灵活但保守）。避免直接多次t检验导致的多重比较/第一类错误膨胀问题。

扩展类型

双因素方差分析（同时分析两因子的主效应和交互效应）、重复测量方差分析（同对象多时间点测量）、多元方差分析(MANOVA)（多因变量时检验均值向量）。当k=2时ANOVA等价于独立样本t检验（F=t2F = t^2，p值相同）。