方差分析

方差分析 (ANOVA)

方差分析由罗纳德·费雪提出，核心为检验三组及以上均值是否存在显著差异。将总变异分解为组间和组内两部分： $\mathrm{SST} = \mathrm{SSB} + \mathrm{SSW}$ 。

\mathrm{SST} = \sum_{i}\sum_{j}(y_{ij}-\bar{y})^2,\; \mathrm{SSB} = \sum n_i(\bar{y}_i-\bar{y})^2,\; \mathrm{SSW} = \sum_{i}\sum_{j}(y_{ij}-\bar{y}_i)^2

组间均方 $\mathrm{MSB} = \mathrm{SSB}/(k-1)$ ，组内均方 $\mathrm{MSW} = \mathrm{SSW}/(N-k)$ 。检验统计量 $F = \mathrm{MSB}/\mathrm{MSW}$ （服从 $F(k-1, N-k)$ ）。

$H_0: \mu_1 = \dots = \mu_k$ vs $H_a$ ：至少两个不等。若 $H_0$ 真则F≈1，若真则F>>1。决策：p值< $\alpha$ （0.05）或F>临界值则拒 $H_0$ 。

三假设：独立性（观测值相互独立）、正态性（残差正态分布，大样本下因中心极限定理稳健）、方差齐性（各组方差齐，Levene检验/Bartlett检验验证；不齐可进行变换或用Welch's ANOVA）。

ANOVA显著后需事后检验确定具体哪些组有差异：Tukey's HSD（等样本推荐）、Bonferroni校正（保守）、Scheffé's方法（灵活但保守）。避免直接多次t检验导致的多重比较/第一类错误膨胀问题。

双因素方差分析（同时分析两因子的主效应和交互效应）、重复测量方差分析（同对象多时间点测量）、多元方差分析(MANOVA)（多因变量时检验均值向量）。当k=2时ANOVA等价于独立样本t检验（ $F = t^2$ ，p值相同）。