期望频率

期望频率 (Expected Frequency)

期望频率 (Expected Frequency) 是统计学中，特别是在分类数据分析 (Categorical Data Analysis) 和卡方检验的框架下使用的核心概念。它指的是在零假设 $H_0$（通常为变量间相互独立或无关联的假设）成立的前提下，根据样本数据的边际分布所推算出的、理论上应当观察到的频数。

定义与计算公式

对于一个 $r \times c$ 的列联表 (Contingency Table)，设第 $i$ 行第 $j$ 列的观测频率 (Observed Frequency) 为 $O_{ij}$，行合计为 $R_i = \sum_{j=1}^{c} O_{ij}$，列合计为 $C_j = \sum_{i=1}^{r} O_{ij}$，总样本量为 $N = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} O_{ij}$。在行变量与列变量相互独立的零假设下，单元格 $(i, j)$ 的期望频率 $E_{ij}$ 为：

这一公式的直觉是：若两变量独立，则落入单元格 $(i, j)$ 的概率应为行概率与列概率的乘积 $\frac{R_i}{N} \times \frac{C_j}{N}$，乘以总样本量 $N$ 即得期望频数。

在卡方检验中的角色

期望频率是皮尔逊卡方检验 (Pearson's Chi-Squared Test) 的基石。该检验的统计量定义为：

直观上，$\chi^2$ 统计量度量了观测频率与期望频率之间的总体偏差。当零假设为真时，$O_{ij}$ 与 $E_{ij}$ 的差异仅由抽样误差引起，$\chi^2$ 近似服从卡方分布 $\chi^2((r-1)(c-1))$。若偏差过大导致统计量落入拒绝域，则拒绝独立性假设。

期望频率的适用条件

使用期望频率及卡方检验时，需满足以下条件：

1. 样本独立性：各观测值必须相互独立，通常由简单随机抽样保证。
2. 期望频率下限：传统经验规则要求所有 $E_{ij} \geq 5$，至少要求 $E_{ij} \geq 1$ 且低于 $5$ 的单元格不超过总数的 $20\%$。若大量期望频率过小，应使用Fisher精确检验作为替代。
3. 固定边际：卡方检验的经典版本假设边际合计非随机。若边际本身也是随机的，需使用其他模型（如泊松对数线性模型）。

与其他概念的关系

期望频率与观测频率 $O_{ij}$ 构成对比：前者是理论推导值，后者是实际计数数据。两者的差 $O_{ij} - E_{ij}$ 称为残差 (Residual)，其标准化形式 $\frac{O_{ij} - E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}}$ 称为皮尔逊残差 (Pearson Residual)，用于诊断哪些单元格对 $\chi^2$ 统计量贡献最大。

在拟合优度检验 (Goodness-of-Fit Test) 中，期望频率的概念同样适用：根据某个理论分布（如均匀分布、正态分布）计算各类别的期望频数，再与观测频数比较。

计算实例

假设调查 $200$ 名受访者的性别与品牌偏好，得到如下列联表：

若性别与品牌偏好独立，则男性偏好品牌A的期望频率为：

同理，男性偏好品牌B的期望频率为 $E_{12} = \frac{80 \times 110}{200} = 44$，女性偏好品牌A为 $E_{21} = \frac{120 \times 90}{200} = 54$，女性偏好品牌B为 $E_{22} = \frac{120 \times 110}{200} = 66$。将这些期望值与观测值 $(50, 30, 40, 80)$ 代入 $\chi^2$ 公式可判断独立性。

注意事项与常见误解

• 期望频率是理论推导值而非实际观测值，可以是非整数。
• 小的期望频率并不自动使检验失效；Yates连续性校正仅适用于 $2 \times 2$ 表，且在现代统计实践中争议较大。
• 期望频率依赖于零假设的设定。在同质性检验中，零假设为各总体分布相同而非变量独立，但计算公式形式上一致。

期望频率将抽象的独立性假设转化为可量化的数值基准，使统计推断从主观判断走向客观检验，是推断统计中连接理论与数据的关键桥梁。