标准形式博弈

标准形式博弈（normal-form game），又称策略形式博弈（strategic-form game），是博弈论中最基础的博弈表示方式。它通过三个核心要素完整刻画一个静态博弈情境：参与者集合、每个参与者的纯策略空间、以及定义在所有策略组合上的效用函数（payoff function）。三要素缺一不可，共同构成博弈的完整描述。与扩展形式相比，标准形式舍弃了时序与信息结构，将博弈简化为策略与支付之间的函数关系，使其成为分析同时行动静态博弈的理想工具。标准形式也是学习更复杂博弈模型（如动态博弈、不完全信息博弈）的必经起点。

三要素的形式定义

设博弈有 $n$ 个参与者，记参与者集合为 $N = \{1, 2, \ldots, n\}$。对每个参与者 $i \in N$，其纯策略空间为 $S_i$，表示该参与者所有可行策略的集合。一个策略组合（strategy profile）$s = (s_1, s_2, \ldots, s_n) \in S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n$ 描述了所有参与者各选一个策略后的完整局面。参与者 $i$ 的效用函数 $u_i: S_1 \times \cdots \times S_n \to \mathbb{R}$ 赋予每个策略组合一个实数值，反映 $i$ 在该结果下的偏好排序。效用函数满足冯·诺依曼-摩根斯坦（von Neumann-Morgenstern）公理时，可进一步处理涉及风险与概率的混合策略情形，这为后续讨论混合策略纳什均衡奠定了公理化基础。

对于两人有限策略博弈，标准形式通常以支付矩阵（payoff matrix）呈现：行对应参与者 1 的策略，列对应参与者 2 的策略，每个单元格内有序数对 $(u_1, u_2)$，前者为行参与者的效用，后者为列参与者的效用。囚徒困境是经典范例——两个囚徒各可选择"坦白"或"抵赖"，支付矩阵直观展示了个体理性与集体理性的冲突：各自追求最优却导致对双方都更差的结局。对于三人及以上的博弈，则需使用多维数组或分层表格表示，其复杂度随参与者人数指数增长。

核心解概念

严格占优（strict dominance）：若对参与者 $i$，存在策略 $s_i^*$ 使得无论对手选择何种策略，均有 $u_i(s_i^*, s_{-i}) > u_i(s_i', s_{-i})$ 对所有 $s_i' \neq s_i^*$ 和所有 $s_{-i}$ 成立，则 $s_i^*$ 是严格占优策略。严格占优策略若存在，必然是理性参与者的唯一选择。更弱的版本是弱占优（weak dominance），将严格不等式替换为 $\geq$ 且至少一个严格成立。逐次剔除严格劣策略（iterated elimination of strictly dominated strategies, IESDS）可逐步缩小均衡候选范围，其核心逻辑在于"理性参与者不会选择严格劣策略"这一常识（common knowledge）。但剔除顺序在弱占优下可能影响最终结果，需谨慎处理。

纳什均衡（Nash equilibrium）：策略组合 $s^*$ 满足对每个参与者 $i$，$u_i(s_i^*, s_{-i}^*) \geq u_i(s_i, s_{-i}^*)$ 对所有 $s_i \in S_i$ 成立。即每个参与者单方面偏离无法提高自身效用。纳什均衡是标准形式博弈的核心预测概念，但并非所有博弈都有纯策略纳什均衡——匹配便士即为一例。纳什均衡的本质是最优反应对应（best response correspondence）的不动点，这一视角为均衡存在性的证明提供了拓扑学路径。

混合策略（mixed strategy）：参与者在纯策略上的概率分布 $\sigma_i \in \Delta(S_i)$，其中 $\Delta(S_i)$ 表示 $S_i$ 上的所有概率分布的单纯形。此时期望效用为 $\mathbb{E}[u_i(\sigma_i, \sigma_{-i})] = \sum_{s \in S} u_i(s) \prod_{j \in N} \sigma_j(s_j)$。纳什定理（Nash, 1950）运用角谷不动点定理（Kakutani fixed-point theorem）证明，任何有限标准形式博弈都存在至少一个混合策略纳什均衡。这是博弈论中最深刻的结论之一。匹配便士（matching pennies）即为纯策略无均衡而混合策略存在唯一均衡 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 的经典案例。协调博弈（如性别战，Battle of the Sexes）则同时拥有纯策略和混合策略均衡，体现了多重均衡带来的协调问题。

与扩展形式的关系

标准形式将博弈抽象为策略与支付的一一对应，舍弃了时序与信息结构。扩展形式博弈（extensive-form game）通过博弈树刻画行动顺序和信息集，信息更丰富但维度更高。任一扩展形式博弈均可转化为等价的标准形式——将每个参与者的一个完整相机计划（contingent plan）映射为标准形式中的一个纯策略。然而这种转化存在维度爆炸问题：若扩展形式中每个信息集有 $k$ 个行动，$m$ 个信息集，则标准形式纯策略数可达 $k^m$。这一局限促使了子博弈完美均衡（subgame perfect equilibrium）和序列均衡（sequential equilibrium）等专为扩展形式设计的精炼概念的发展。反过来，标准形式的纳什均衡概念是这些精炼概念的共同理论基础。

应用与局限

标准形式博弈简洁直观，适用于单次、同时行动的静态场景——如密封拍卖、古诺竞争、伯特兰竞争、协调博弈和公共品博弈等。在产业组织理论中，古诺双寡头模型即为标准形式博弈的典型应用，企业同时选择产量，利润由市场逆需求函数决定。其核心局限在于无法区分行动时序：所有参与者被视为同时选择策略，即便现实中决策有先后。当行动顺序和信念更新至关重要时（如信号博弈、重复博弈），扩展形式是更合适的分析框架。此外，标准形式也无法直接刻画不完全信息；这类情境需借助贝叶斯博弈（Bayesian game）框架，将类型空间引入标准形式的建模之中。海萨尼转换（Harsanyi transformation）是连接完全信息与不完全信息博弈的桥梁。尽管如此，标准形式因其数学简洁性和纳什均衡理论的完备性，始终是博弈论教学与研究的逻辑起点，也是理解更复杂博弈模型的基础。