概率论

概率论 (Probability Theory)

概率论是研究随机现象的数学分支，为不确定性提供严谨框架。现代体系由柯尔莫哥洛夫以测度论公理化（20世纪30年代）。样本空间 $\Omega$、事件（子集）、概率测度 $P$ 满足非负性 $(P(A) \ge 0)$、规范性 $(P(\Omega) = 1)$、可列可加性（互斥事件并集概率=各自概率之和）。

核心概念

条件概率：$P(A \mid B) = P(A \cap B)/P(B)$（$P(B) > 0$）。事件的独立性：$P(A \mid B) = P(A)$→$P(A \cap B) = P(A)P(B)$。

贝叶斯定理：$P(A \mid B) = P(B \mid A)P(A)/P(B)$。后验概率（给定证据后的假设概率）、先验概率、似然性。贝叶斯统计的核心更新机制。

随机变量：样本点→实数的函数。离散随机变量用概率质量函数(PMF) $p(x) = P(X=x)$。连续随机变量用概率密度函数(PDF) $f(x)$，$P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)dx$。

期望 $E[X]$（趋势中心）、方差 $\mathrm{Var}(X) = E[(X-E[X])^2]$（离散程度）、标准差 $\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}$。

极限定理与应用

大数定律(LLN)：样本均值收敛于期望值。中心极限定理(CLT)：大量独立同分布之和趋近正态分布（无论原分布形态）。是置信区间和假设检验的理论基础。

应用遍及：统计学、金融学（布莱克-斯科尔斯模型/风险管理）、保险精算学、物理（统计力学/量子力学）、计算机（密码学/机器学习）、生物学/医学（遗传学/临床试验）。