正定或半正定

正定或半正定 (Positive Definite / Positive Semidefinite)

正定与半正定→线性代数/矩阵分析核心概念→刻画实对称矩阵（或更一般Hermitian矩阵）的"正性"程度→通过二次型符号性质定义→在最优化、计量经济学、宏观经济学动态系统中有广泛应用。核心定义→ $n\times n$ 实对称矩阵 $A$ ：若对所有非零 $x\in\mathbb{R}^n$ 有 $x'Ax>0$ → $A$ 正定；若 $x'Ax\ge0$ → $A$ 半正定（正半定）。经济学核心意义→海森矩阵正定 $\iff$ 函数严格凸→二阶条件基础；方差-协方差矩阵必半正定→统计推断基石。

定义与二次型刻画

正定矩阵 (Positive Definite, PD)：实对称矩阵 $A_{n\times n}$ 满足→ $\forall x\in\mathbb{R}^n,x\neq0$ →二次型 $x'Ax=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j>0$ →等价 $A\succ0$ （Loewner偏序记号）。

半正定矩阵 (Positive Semidefinite, PSD)：条件弱化→ $\forall x\in\mathbb{R}^n$ → $x'Ax\ge0$ →等价 $A\succeq0$ →存在非零 $x$ 使 $x'Ax=0$ 为"半"之关键→对应零特征值。

负定与半负定： $A$ 负定 $\iff -A$ 正定； $A$ 半负定 $\iff -A$ 半正定。不定矩阵：既有正又有负的二次型取值→ $x'Ax$ 可正可负→最优化中对应鞍点。

非对称矩阵推广：对非对称 $A$ →二次型 $x'Ax$ 仅依赖对称部分 $\frac{A+A'}{2}$ →通常仅对对称矩阵讨论正定性→经济应用中几乎全为对称矩阵（Hessian、协方差阵均对称）。

特征值刻画

正定性可与特征值建立充要联系→最常用判定方式之一：

PD $\iff$ 所有特征值严格为正： $A\succ0\iff\lambda_i(A)>0,\forall i=1,\ldots,n$ →谱分解 $A=Q\Lambda Q'$ 中 $\Lambda$ 对角元全正。
PSD $\iff$ 所有特征值非负： $A\succeq0\iff\lambda_i(A)\ge0,\forall i$ →至少一个零特征值即非PD。
负定 $\iff$ 所有特征值严格为负： $\lambda_i<0,\forall i$ 。
不定 $\iff$ 既有正又有负特征值。

经济学直觉：海森矩阵特征值全正→局部极小点（严格凸）；全负→局部极大点（严格凹）；正负混合→鞍点。计量中信息矩阵特征值→各参数方向信息量→全正则参数可识别。

主子式与Sylvester判据

Sylvester判据（正定性最实用充要条件）→实对称矩阵 $A$ 正定 $\iff$ 所有顺序主子式（leading principal minors）为正。顺序主子式：取前 $k$ 行 $k$ 列构成子阵的行列式→ $|A_k|>0,\ k=1,\ldots,n$ 。

实例→公式暂不可显示正定 $\iff a>0$ 且 $ac-b^2>0$ →后者即行列式为正→几何含义：矩阵"面积伸缩因子"为正。

PSD的注意：所有顺序主子式非负并非PSD的充要条件→仅当所有主子式（不限于顺序）非负才等价→因顺序主子式非负矩阵可能不定。实际判定PSD更常用特征值法或Cholesky尝试分解。

Cholesky分解与构造性判定

Cholesky分解： $A$ 正定 $\iff$ 存在唯一的下三角矩阵 $L$ （对角元为正）使 $A=LL'$ →该分解提供构造性判定→尝试计算Cholesky→若过程中对角元恒正则PD→若出现零则PSD→若出现负则不定。

经济学应用：蒙特卡洛模拟中生成相关随机向量→给定协方差阵 $\Sigma$ （PSD）→Cholesky分解 $\Sigma=LL'$ →若 $z\sim N(0,I)$ 则 $Lz\sim N(0,\Sigma)$ 。计量中GLS估计→ $\Omega^{-1}=P'P$ 变换→等价Cholesky思路。

经济学核心应用

（一）最优化与二阶条件

目标函数 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ →海森矩阵 $H_f=\nabla^2 f(x^*)$ ：

$H_f(x^*)$ 正定 $\Rightarrow$ 严格局部极小→无约束最优化的充分条件。
$H_f(x^*)$ 负定 $\Rightarrow$ 严格局部极大。
$H_f(x^*)$ 不定 $\Rightarrow$ 鞍点→一阶条件满足但非极值。
$H_f(x^*)$ 半正定 $\Rightarrow$ 需更高阶信息→可能极小也可能拐点。

凸性联系： $f$ 凸 $\iff H_f(x)\succeq0,\forall x$ （全局）→ $f$ 严格凸 $\Leftarrow H_f(x)\succ0,\forall x$ （充分非必要）→正定性在此成为凸优化的理论支点。

约束优化：Kuhn-Tucker条件中→加边海森矩阵（bordered Hessian）的正定性条件判定约束极值→比较静态分析中常用。

（二）计量经济学与统计

方差-协方差矩阵：任意随机向量 $X$ 的协方差阵 $\Sigma=\mathrm{Var}(X)$ 必半正定→因 $\mathrm{Var}(c'X)=c'\Sigma c\ge0$ →方差非负直接推得PSD→若 $\Sigma$ 正定则随机向量不存在线性依赖→"满秩"→多元正态密度存在。

广义最小二乘法(GLS)： $\Omega=\mathrm{Var}(\varepsilon)$ 需正定→GLS估计量 $\hat\beta=(X'\Omega^{-1}X)^{-1}X'\Omega^{-1}y$ 才有定义→可行GLS需估计 $\hat\Omega$ 并保证其正定性。

HAC/Newey-West：异方差自相关一致协方差估计量→构造中需确保所得协方差阵半正定→经典的White估计量天然PSD→某些小样本修正可能破坏PSD性→实证中需留意。

（三）宏观经济学与动态系统

线性差分方程系统： $x_t=Ax_{t-1}$ →稳定性条件→ $A$ 的所有特征值模长小于1→若 $A$ 可化为对称正定矩阵→稳定与特征值全正等价→Lyapunov方程 $A'PA-P=-Q$ → $P,Q$ 正定 $\Rightarrow$ 全局渐近稳定。

DSGE模型：Blanchard-Kahn条件中→线性理性预期模型的鞍点路径稳定性需系数矩阵特征值分解→正定性为判定唯一稳定解的条件之一。

投入产出分析：Leontief逆矩阵 $(I-A)^{-1}$ 的正定性确保经济系统生产性→Hawkins-Simon条件：所有顺序主子式为正 $\iff$ 技术矩阵 $A$ 具有生产性→古典结论→本质即正定性判据。

（四）金融经济学

均值-方差分析：协方差矩阵 $\Sigma$ 正定→马科维茨有效前沿存在唯一最小方差组合→若仅PSD（奇异）则存在冗余资产→某些资产完全由其余资产线性表示→协方差奇异则最小方差组合权重不唯一→两基金分离定理框架下需 $\Sigma$ 满秩。

CAPM推导中→市场组合方差 $\sigma_M^2$ 为正→等价回报协方差阵正定→若存在无风险资产→切点组合有定义→正定性是核心假设。

判定流程图与实用技巧

快速判定路径（对称矩阵 $A$ ）：

①检查对角元：若存在 $a_{ii}\le0$ →非PD（因基向量 $e_i$ 的二次型 $e_i'Ae_i=a_{ii}$ ）→必要条件。
②若 $2\times2$ → $a_{11}>0$ 且 $\det(A)>0$ →PD。
③若 $3\times3$ 及以上→Sylvester判据（顺序主子式全正）→最直接。
④或计算特征值（数值方法）→全正即PD。
⑤半定性→特征值全非负→或尝试Cholesky→看是否出现零/负对角元。

常见陷阱：顺序主子式非负不足以保证PSD→反例→ $\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}$ 顺序主子式 $0,0$ 但非PSD（ $x=(0,1)$ 时二次型 $=-1$ ）→需所有主子式非负→实践中用特征值法或Cholesky最稳妥。

正定或半正定