泊松分布的假设检验

泊松分布的假设检验

对计数数据的泊松过程发生率 $\lambda$ 进行统计推断。泊松分布 PMF：$P(X=k) = e^{-\lambda}\lambda^k/k!$，$E(X) = \mathrm{Var}(X) = \lambda$。

检验方法

精确检验（小样本）：利用泊松可加性——$n$区间总事件数 $X_{\mathrm{total}} \sim \mathrm{Poisson}(n\lambda_0)$。p值：右尾 $\sum_{k=x_{\mathrm{obs}}}^\infty e^{-n\lambda_0}(n\lambda_0)^k/k!$，左尾 $\sum_{k=0}^{x_{\mathrm{obs}}}$，双尾将单尾加倍。

正态近似检验（$n\lambda_0 > 20$推荐）：Z统计量 $Z = (X_{\mathrm{total}} - n\lambda_0)/\sqrt{n\lambda_0}$（近似$N(0,1)$）。推荐用连续性校正：右尾 $Z_{\mathrm{corr}} = ((X_{\mathrm{total}} - 0.5) - n\lambda_0)/\sqrt{n\lambda_0}$，左尾 $((X_{\mathrm{total}} + 0.5) - n\lambda_0)/\sqrt{n\lambda_0}$。

示例

网站改版前每小时投诉$\lambda_0=20$，改版后3小时观察$x_{\mathrm{obs}}=45$。$H_0: \lambda \ge 20$ vs $H_1: \lambda < 20$（左尾）。$n\lambda_0 = 60 > 20$→用正态近似。$Z_{\mathrm{corr}} = (45.5-60)/\sqrt{60} \approx -1.872$。p值 $\approx 0.0306 < 0.05$→拒$H_0$，显著下降。

假设前提

独立性、率恒定、无并发性、比例性。若不满足（如方差>>均值→"聚集性"）应考虑负二项分布等替代模型。