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洛朗级数

洛朗级数 (Laurent Series)

洛朗级数→复分析核心工具→泰勒级数推广→含负幂项→表解析函数在孤立奇点邻域性状→P. A. Laurent 1843发表。

定义与形式

复函f(z)f(z)在环形区域r<∣z−z0∣<Rr<|z-z_0|<R解析→可展洛朗级数：

f(z)=∑n=−∞∞an(z−z0)nf(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n

系数由柯西积分公式推广给出：

an=12πi∮Cf(z)(z−z0)n+1dza_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz

C是环域内任一绕z₀正向闭曲线。级数分两部：解析部分∑n=0∞an(z−z0)n\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n（正则部）→环域内全纯；主要部分∑n=−∞−1an(z−z0)n\sum_{n=-\infty}^{-1}a_n(z-z_0)^n（主部）→表奇点性状。

收敛性

洛朗级数在环域r<∣z−z0∣<Rr<|z-z_0|<R内绝对收敛且内闭一致收敛→可逐项求导积分。内径r可为0（去心邻域）→此时z₀为孤立奇点；外径R可为∞。收敛域非圆盘（泰勒）而是圆环→这是洛朗级数根本特点。

奇点分类

主部项数定z₀类型：

  • 可去奇点：主部全零→洛朗=泰勒→如(sin⁡z)/z(\sin z)/z在z=0。
  • m阶极点：主部有限项且a−m≠0a_{-m}\neq0→如1/(z−1)21/(z-1)^2在z=1处二阶极。
  • 本性奇点：主部无限非零项→如e1/ze^{1/z}在z=0→魏尔斯特拉斯-卡索拉蒂定理。

留数定理核心

系数a−1a_{-1}即留数Res(f,z0)\mathrm{Res}(f,z_0)→留数定理：

∮Cf(z)dz=2πi⋅a−1\oint_C f(z)dz=2\pi i\cdot a_{-1}

因此求洛朗展开的z−1z^{-1}项系数→算围道积分→不用直接积分。极点留数速算：

  • 一阶极：a−1=lim⁡z→z0(z−z0)f(z)a_{-1}=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)
  • m阶极：a−1=1(m−1)!lim⁡z→z0dm−1dzm−1[(z−z0)mf(z)]a_{-1}=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\big[(z-z_0)^m f(z)\big]

典型例

例1→e1/ze^{1/z}在z=0：

e1/z=∑n=0∞1n!z−n=1+1z+12!z2+⋯e^{1/z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{-n}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\cdots

主部无限→本性奇点→Res(e1/z,0)=a−1=1\mathrm{Res}(e^{1/z},0)=a_{-1}=1。

例2→f(z)=1(z−1)(z−2)f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}在不同环域展洛朗：

  • ∣z∣<1|z|<1：利用1z−2=−1211−z/2\frac{1}{z-2}=-\frac12\frac{1}{1-z/2}等→得泰勒级数（无可去奇点例外）。
  • 1<∣z∣<21<|z|<2：对1/(z−1)1/(z-1)用∣z∣>1|z|>1展开→含负幂： \[ f(z)=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-2}=\cdots-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{z^n}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{2^{n+1}} \]
  • ∣z∣>2|z|>2：两项均负幂展开→主部无限。

应用

复积分：洛朗展求留数→算实积分（三角函数有理式、反常积分、傅里叶变换）。渐近分析：近奇点处函数行为→级数主部定发散阶。特殊函数：Zeta函数、椭圆函数、模形式等洛朗系数含深数论信息。信号处理：Z变换（离散信号）→本质洛朗展开→收敛域与因果/稳定性判别。

洛朗级数桥接泰勒解析延拓与奇点理论→复变函数论不可缺少基石。

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