混合设计方差分析

混合设计方差分析 (Mixed-Design ANOVA)

混合设计方差分析（Mixed-Design ANOVA），亦称裂区方差分析（Split-Plot ANOVA），是一种同时包含被试间因素和被试内因素的方差分析方法。它在心理学、教育学和生物医学等实验研究中应用广泛，适用于既需要比较不同组别之间的差异、又需追踪同一组被试在不同时间点或条件下的变化的场景。

核心概念与适用场景

混合设计ANOVA的核心优势在于能在同一个分析框架中处理两类不同的实验因素。被试间因素（Between-Subjects Factor）指不同水平的被试来自不同群体，如治疗组与对照组、不同年龄段等——这些因素的回答相互独立。被试内因素（Within-Subjects Factor）指同一组被试在所有水平上均被重复测量，如实验前、中、后三个时间点的测试成绩——这些测量彼此相关。

典型的混合设计场景包括：研究者将抑郁症患者随机分配至认知行为疗法组和药物疗法组（被试间因素），并在治疗前、治疗后4周和8周三个时间点测量抑郁量表得分（被试内因素）。该设计能够同时回答三个关键问题：两种疗法整体上是否存在差异（被试间主效应）？抑郁得分随时间是否显著变化（被试内主效应）？时间趋势是否因疗法不同而异（交互效应）？

方差分解与假设检验

在混合设计中，总变异被分解为多个来源。设被试间因素为$A$（有$p$个水平），被试内因素为$B$（有$q$个水平），则方差分解如下：

1. 被试间变异：因素$A$的主效应（组间差异）及其对应的误差项——组内被试间变异。
2. 被试内变异：因素$B$的主效应（时间或条件效应）、$A \times B$交互效应，以及对应的误差项——$B \times \text{Subject}(A)$交互。

关键点在于两类因素使用不同的误差项进行$F$检验。被试间因素$A$使用"组内被试间变异"作为分母，而被试内因素$B$和交互作用$A \times B$使用"被试内误差"作为分母。这反映了混合设计中误差结构的层次性——不同来源的随机变异不能互换使用。

前提假设与检验

混合设计ANOVA继承了单因素独立样本ANOVA和重复测量ANOVA的假设，并增添了新的要求。

被试间假设：各被试间因素水平下的观测需满足正态性和方差齐性（可用Levene检验评估）。

被试内假设：最关键的是球形假设（Sphericity），即被试内因素各水平间差异的方差恒定。违反球形假设会导致$F$检验过于自由，增加第一类错误率。常用Mauchly球形检验评估，若违反则使用Greenhouse-Geisser或Huynh-Feldt校正对自由度进行调整。

协方差矩阵齐性：Box's M检验用于评估不同被试间组别的协方差矩阵是否相等，这是更严格的多元假设。

结果解读与效应量

解释混合设计ANOVA的结果须按逻辑顺序进行。首先检验交互效应$A \times B$：若交互效应显著，表明一个因素的效果依赖于另一个因素的水平——此时主效应的解释需格外谨慎，因为主效应可能被交互效应所掩盖或扭曲。宜进行简单效应分析（Simple Effects Analysis），即在一个因素的某个水平上检验另一个因素的效应，以分解交互作用的来源。

效应量方面，常用偏Eta平方（$\eta^2_p$）报告各效应（主效应和交互效应）的效应大小。因其含义因效应类型而异，报告时必须指明是哪个效应的$\eta^2_p$。对于被试内因素的成对比较，科恩的d或Hedges' g可提供更直观的标准化均值差。

与相关方法的比较

混合设计ANOVA区别于两种极端设计。独立样本ANOVA仅含被试间因素，所有观测相互独立，使用单一误差项；重复测量ANOVA仅含被试内因素，所有被试经历所有条件，误差项为被试×条件交互。混合设计则是在同一模型中容纳两类因素，充分利用了重复测量提高统计功效的优势，同时保留了组间比较的能力。若被试内因素违背球形假设且校正后仍不理想，可考虑使用多元方差分析（MANOVA）方法或线性混合模型（Linear Mixed Models）作为更灵活的替代。