独立性检验

独立性检验 (Independence Test)

独立性检验判断两/分类变量是否统计独立→假设检验→核心分析列联表→比观测与期望频数→评估关联显著→社科/医学/调研标准工具。

设$H_0$：X⊥Y（$P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)$对所有i,j）→卡方独立性检验=最常用（皮尔逊）。

卡方检验

列联表r×c→期望频数$E_{ij}=n_{i·}n_{·j}/n$。统计量：$\chi^2=\sum\sum(n_{ij}-E_{ij})^2/E_{ij}$→观测=期望时=0→偏越大值越大→$H_0$下n足够大时$\chi^2\sim\chi^2_{df}$。自由度：$df=(r-1)(c-1)$。

决策：设显著性水平$\alpha$=0.05→算$\chi^2$→求p值$P(\chi^2_{df}>$观测值)→若p<$\alpha$→拒$H_0$→变量显著相关；p≥$\alpha$→无足够证据。

条件：n≥50；各格$E_{ij}$≥5（至少80\%→无<1）；随机抽样；观测独立。不满足→一型错误率偏离名义。

Fisher精确检验：2×2表或卡方条件不满足时→超几何分布→$P(a)=\frac{\binom{a+b}{a}\binom{c+d}{c}}{\binom{n}{a+c}}$→精确p值（所有更极概率和）→适n<40/期望大<5/稀有事件。

例与相关概念

例：药A有效60/100，药B效40/100。期望皆=50→$\chi^2=(60-50)^2/50×4=8.0$→df=1→临界$\chi^2_{0.05,1}=3.84$→8.0>3.84→p=0.0047<0.05→拒$H_0$→两药效显著异。

vs拟合优度：单变量vs两变量→观vs理论分布vs观联合vs独立期望。vs相关分析：连续→线性方强vs分类→任何形式关联。统计关联≠因果→可能有因/共同混杂/抽样偏/偶然。

功效+样本：大样→微差可显著→小样→真关联被掩。功效→样本↑/效应量↑/α↑→高。效应量=Phi系数/优势比。

高维→对数线性模型→$\log(\mu_{ijk})=\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY}+...$→同检多元独立+交互。现代：蒙特卡洛→贝叶斯后验；R→\texttt{chisq.test()/fisher.test()}；Python→\texttt{scipy.stats.chi2\_contingency}。常见误：忽条件检/过释p值/不当合并类/多重比不校。