生存分析

生存分析 (Survival Analysis)

生存分析（Survival Analysis）是一类用于分析从起始事件到终点事件所经历的时间（即"生存时间"或"失效时间"）的统计方法，其核心特征是处理删失数据（Censored Data）——并非所有个体在研究结束前都经历了终点事件，这使得普通线性或逻辑回归不再适用。

核心概念

生存时间 $T$ 是从明确定义的起点（如确诊日、手术日、设备投运日）到感兴趣事件发生所经历的非负连续随机变量。删失是生存分析的本质特征：右删失（最常见）指研究结束时个体仍未经历事件或中途失访，仅知 $T > c$；左删失指事件在某个时间前已发生；区间删失指事件发生在某区间 $[a, b]$ 内。关键假设：删失需为非信息性（Non-informative Censoring），否则估计有偏。

核心函数

生存函数 $S(t) = P(T > t)$ 表示存活到时间 $t$ 之后的概率，单调非增，$S(0)=1$，$S(\infty)=0$。危险函数 $h(t) = \lim_{\Delta t\to 0} P(t \leq T < t+\Delta t \mid T \geq t)/\Delta t$ 表示在已存活到 $t$ 的条件下，下一瞬间发生事件的瞬时速率（可大于 1，并非概率）。二者关系为 $S(t) = \exp(-\int_0^t h(u) du)$。

核心方法

Kaplan-Meier 估计量（非参数）用于估计生存函数：$\hat{S}(t) = \prod_{t_i \leq t} (1 - d_i/n_i)$，其中 $d_i$ 为 $t_i$ 时刻事件数，$n_i$ 为风险集大小。它是阶梯函数，只在事件发生时刻跳跃。

Cox 比例风险模型（半参数）是应用最广的回归模型：

$h_0(t)$ 为基线危险函数（不设定参数形式），$\exp(\beta)$ 为危险比（Hazard Ratio）。核心假设为比例风险假设（PH Assumption）——危险比在整个时间轴上恒定，常用 Schoenfeld 残差检验。

参数模型（Weibull、指数、对数正态等）当分布有理论依据时适用。加速失效时间模型（AFT）直接用 $\ln(T) = \beta_0 + \beta X + \sigma\epsilon$ 建模时间，在工程可靠性领域常见。Cox 回答"谁更危险"，AFT 回答"谁更快失效"。

应用与拓展

| 领域 | 起点 | 终点 | |------|------|------| | 临床医学 | 入组/手术日 | 死亡/复发 | | 可靠性工程 | 设备投运 | 故障 | | 金融风控 | 贷款发放 | 违约 | | 用户行为 | 注册 | 流失 |

log-rank 检验是两组生存曲线比较的最常用非参数检验。当存在多种互斥终点（如心血管死亡 vs 癌症死亡）时，需用竞争风险模型（Fine-Gray 子分布风险模型）。其他重要拓展包括：多状态模型（模拟疾病进程）、脆弱模型（处理未观测异质性）、联合模型（同时建模纵向轨迹与生存结局）及治愈模型（适用于部分个体永不经历事件的场景）。

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