符号秩和检验

符号秩和检验 (Wilcoxon Signed-Rank Test)

符号秩和检验（Wilcoxon Signed-Rank Test），通常称威尔科克森符号秩检验，是统计学中重要的非参数统计假设检验方法，用于评估两配对样本的总体分布是否存在差异，或单一样本的分布中心（通常为中位数）是否等于某特定值。作为配对t检验的非参数替代，它不需要假设数据服从正态分布，在处理序数数据、小样本数据或含有明显离群值的数据时尤为有力。需要注意的是，该检验与用于独立样本的威尔科克森秩和检验（曼-惠特尼U检验）不同，符号秩和检验处理相关或配对样本，且利用差值的符号信息。

检验逻辑与步骤

核心思想是，对每对观测值计算差值 $d_i = X_i - Y_i$，取差值的符号（表示方向即正或负）和差值的绝对值排序（秩，表示差异大小），综合符号和秩的信息进行判断。若分布中心无变化，则期望正的秩和与负的秩和大致相等。

具体步骤包括：计算每对差值并删除零差值；对差值绝对值进行升序排名；分别对正差值和负差值累计秩和 $W_+$ 和 $W_-$。检验统计量通常取两者中的较小值。原假设 $H_0$ 为两配对总体的中位数差为零（或单一样本中位数为某特定值）。

假设与比较

符号秩和检验要求所有配对差值的分布关于零点对称，这一对称性要求是其与符号检验的关键区别。符号检验仅需差值独立，不要求对称性。当样本量大于20时，正态近似适用，样本量较小时则需查Wilcoxon符号秩临界值表。

与符号检验相比，符号检验仅使用方向信息即正或负，忽略了差异大小，功效因此较低，但仅需假设两方法的中位数相等，不要求对称性。符号秩和检验同时使用方向和大小信息，功效更接近配对t检验，但对称性假设更为严格。实际中选择符号秩和检验的指引是，当正态性不适即配对差值严重偏斜或含有离群值，且大致对称时，它是配对t检验的适当替代。该检验在医学统计的治疗前后测量、心理学的前后测对比以及经济学基期与干预期对比的事件研究中被广泛使用。