线性变换

线性变换 (Linear Transformation)

线性变换（Linear Transformation），也称为线性映射（Linear Map）或线性算子（Linear Operator），是线性代数中最核心的概念之一。它是一种在两个向量空间之间保持加法和标量乘法运算的特殊函数。从几何上看，线性变换可理解为对空间进行旋转、缩放、剪切或投影等"规整"变形，但绝不会弯曲或折断空间。

形式化定义

设 $V$ 和 $W$ 是同一域 $F$ 上的向量空间。函数 $T: V \to W$ 称为线性变换，当且仅当对任意 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ 和任意标量 $c \in F$，满足：

两条件等价于 $T(c\mathbf{u} + d\mathbf{v}) = cT(\mathbf{u}) + dT(\mathbf{v})$。直接推论为 $T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W$：原点必须映射到原点。

矩阵表示

在有限维情形，选取 $V$ 的基 $\mathcal{B} = \{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}$ 和 $W$ 的基 $\mathcal{C} = \{\mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_m\}$，则 $T$ 由对基向量的作用唯一确定。将 $T(\mathbf{v}_j)$ 在 $\mathcal{C}$ 下的坐标作为第 $j$ 列，得到 $m \times n$ 矩阵 $A$：

这建立了线性变换与矩阵之间的一一对应，将抽象变换转化为具体的矩阵乘法。

核与像

核（Kernel）$\ker(T) = \{\mathbf{v} \in V \mid T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_W\}$，是 $V$ 的子空间，其维度称为零度（Nullity）。$\ker(T) = \{\mathbf{0}_V\}$ 时 $T$ 为单射。

像（Image）$\operatorname{Im}(T) = \{T(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in V\}$，是 $W$ 的子空间，其维度称为秩（Rank）。$\operatorname{Im}(T) = W$ 时 $T$ 为满射。

秩-零度定理联系两者：

该定理揭示了变换过程中维度的守恒：定义域的维度一部分压缩到零，另一部分存活为像空间。

特殊类型

自同态（Endomorphism）是 $T: V \to V$，矩阵为方阵，特征值和特征向量是核心分析工具。同构（Isomorphism）是双射线性变换，两空间同构当且仅当维度相同。自同构（Automorphism）是 $V$ 到自身的同构，所有可逆 $n \times n$ 矩阵构成的一般线性群 $GL(n, F)$ 即为自同构集合。

应用

线性变换在计算机图形学中用于物体的旋转、缩放和投影变换；在微积分中，雅可比矩阵在每一点定义了最佳线性逼近；在数据科学中，主成分分析本质上是通过线性变换寻找最优基以突出数据主要变化方向；在量子力学中，物理可观测量由厄米算子表示。