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组内变换

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组内变换

定义

组内变换（inner transformation），在群论中通常指内自同构（inner automorphism），即由群 G G 中某个固定元素 g g 通过共轭作用 x↦gxg−1 x \mapsto gxg^{-1} 所诱导的从 G G 到自身的双射。确切地说，对于任意 g∈G g \in G ，映射

φg:G→G,φg(x)=gxg−1\varphi_g: G \to G,\quad \varphi_g(x) = gxg^{-1}

称为由 g g 确定的内自同构。全体内自同构构成群 Inn⁡(G) \operatorname{Inn}(G) ，它是全自同构群 Aut⁡(G) \operatorname{Aut}(G) 的一个正规子群。

"组内"一词强调这种变换完全由群内部的元素生成，不依赖任何外部结构。与"外自同构"相对，内自同构反映的是群自身的内部对称性。

基本性质

1. 群同态性质

对任意 x,y∈G x, y \in G ，有

φg(xy)=g(xy)g−1=(gxg−1)(gyg−1)=φg(x) φg(y),\varphi_g(xy) = g(xy)g^{-1} = (gxg^{-1})(gyg^{-1}) = \varphi_g(x)\,\varphi_g(y),

故 φg \varphi_g 是群同态。又因为 φg \varphi_g 有逆映射 φg−1 \varphi_{g^{-1}} ，所以它是双射，从而是自同构。

2. 核与像

考虑映射

Φ:G→Aut⁡(G),Φ(g)=φg.\Phi: G \to \operatorname{Aut}(G),\quad \Phi(g) = \varphi_g.

Φ \Phi 是一个群同态，其核为群的中心 Z(G)={g∈G∣gx=xg, ∀x∈G} Z(G) = \{g \in G \mid gx = xg,\ \forall x \in G\} ，因为 φg=id⁡G \varphi_g = \operatorname{id}_G 当且仅当 g g 与所有元素可交换。由同态基本定理得

Inn⁡(G)≅G/Z(G).\operatorname{Inn}(G) \cong G / Z(G).

这个同构非常重要：它表明内自同构群的结构完全由原群模去中心决定。换言之，中心越大，内自同构群越小；中心平凡时，内自同构群与原群同构。

3. 正规子群结构

内自同构将子群映为共轭子群。若 H≤G H \leq G ，则 φg(H)=gHg−1 \varphi_g(H) = gHg^{-1} 是 H H 的共轭子群。H H 是正规子群当且仅当它对所有内自同构不变，即 gHg−1=H gHg^{-1} = H 对一切 g∈G g \in G 成立。因此，正规子群正是内自同构下的不变子群。

这一观察提供了正规子群的一个等价刻画：子群是正规的，当且仅当它在所有内自同构作用下保持不变。这也解释了为什么正规子群在群论中如此重要——它们是研究商群结构的基础，而内自同构则提供了检验正规性的自然工具。

4. Inn⁡(G) \operatorname{Inn}(G) 是 Aut⁡(G) \operatorname{Aut}(G) 的正规子群

对任意 ψ∈Aut⁡(G) \psi \in \operatorname{Aut}(G) 和 φg∈Inn⁡(G) \varphi_g \in \operatorname{Inn}(G) ，有

ψ∘φg∘ψ−1(x)=ψ(g ψ−1(x) g−1)=ψ(g) x ψ(g)−1=φψ(g)(x),\psi \circ \varphi_g \circ \psi^{-1}(x) = \psi(g\,\psi^{-1}(x)\,g^{-1}) = \psi(g)\,x\,\psi(g)^{-1} = \varphi_{\psi(g)}(x),

故 Inn⁡(G)⊴Aut⁡(G) \operatorname{Inn}(G) \trianglelefteq \operatorname{Aut}(G) 。商群 Out⁡(G)=Aut⁡(G)/Inn⁡(G) \operatorname{Out}(G) = \operatorname{Aut}(G) / \operatorname{Inn}(G) 称为外自同构群（outer automorphism group），它衡量的是自同构中那些"不能由群内元素共轭实现"的部分。

示例

例 1：交换群

若 G G 是交换群，则对所有 g∈G g \in G 有 gxg−1=x gxg^{-1} = x ，故 φg=id⁡G \varphi_g = \operatorname{id}_G 。因此 Inn⁡(G)={1} \operatorname{Inn}(G) = \{1\} ，即交换群没有非平凡的内自同构。这也反过来说明：非平凡的内自同构是群非交换性的直接体现。

例 2：对称群 Sn S_n （n≠2,6 n \neq 2, 6 ）

对于 n≠2,6 n \neq 2, 6 ，对称群 Sn S_n 的所有自同构都是内自同构，即 Aut⁡(Sn)≅Inn⁡(Sn)≅Sn \operatorname{Aut}(S_n) \cong \operatorname{Inn}(S_n) \cong S_n 。当 n=6 n=6 时存在一个外自同构，Out⁡(S6) \operatorname{Out}(S_6) 是 2 阶群。S6 S_6 的这一特殊性是有限群论中一个著名的现象。

例 3：一般线性群 GL⁡n(F) \operatorname{GL}_n(F)

GL⁡n(F) \operatorname{GL}_n(F) 的内自同构由矩阵的相似变换 A↦PAP−1 A \mapsto PAP^{-1} 给出。Inn⁡(GL⁡n(F))≅PGL⁡n(F) \operatorname{Inn}(\operatorname{GL}_n(F)) \cong \operatorname{PGL}_n(F) ，即一般线性群模去中心（标量矩阵）所得的射影一般线性群。这在表示论和代数几何中有广泛应用。

例 4：二面体群 D2n D_{2n}

D2n D_{2n} 是正 n n 边形的对称群。其内自同构由旋转和反射的共轭作用生成。Inn⁡(D2n)≅D2n/Z(D2n) \operatorname{Inn}(D_{2n}) \cong D_{2n} / Z(D_{2n}) 。当 n n 为奇数时中心平凡，Inn⁡(D2n)≅D2n \operatorname{Inn}(D_{2n}) \cong D_{2n} ；当 n n 为偶数时中心为 2 阶群，Inn⁡(D2n)≅Dn \operatorname{Inn}(D_{2n}) \cong D_{n} 。

组内变换与群作用的关系

内自同构本质上是群在自身上的共轭作用。群 G G 通过共轭作用在自身上的轨道称为共轭类（conjugacy class），稳定子群为元素的中心化子 CG(x)={g∈G∣gx=xg} C_G(x) = \{g \in G \mid gx = xg\} 。由轨道-稳定子定理得

∣[x]∣=[G:CG(x)],|[x]| = [G : C_G(x)],

即 x x 所在共轭类的大小等于 G G 中与 x x 可交换的元素构成的子群的指数。这一公式是计算有限群共轭类大小的基本工具，在伯恩赛德引理和群表示论中都有重要应用。例如，通过共轭类的大小可以判断群是否简单——若非平凡群只有一个大小为1的共轭类（即中心仅含单位元），其他共轭类的大小为群阶的真因数，则给出了关于群结构的约束条件。

更高视角：导出列与中心列

内自同构与群的换位子（commutator）结构密切相关。事实上，

gxg−1=x [g,x],gxg^{-1} = x\,[g,x],

其中 [g,x]=gxg−1x−1 [g,x] = gxg^{-1}x^{-1} 是换位子。因此内自同构的作用本质上由换位子决定。在群的导出列和中心列理论中，内自同构扮演着核心角色：

  • G G 的换位子群（导群）[G,G] [G,G] 是所有换位子生成的子群，它是内自同构不变的（实际上是特征子群）。
  • 若 G G 是幂零群（nilpotent group），则其中心列中的每个商因子 Zi+1(G)/Zi(G) Z_{i+1}(G)/Z_i(G) 恰为 G/Zi(G) G/Z_i(G) 的中心，这直接对应于内自同构群的逐步"平凡化"过程。
  • 可解群（solvable group）的导出列最终达到平凡群，这等价于反复取换位子后群退化到单位元，本质上也是在逐步消除非平凡的内自同构。

推广到其他代数结构

内变换的概念可以推广到更一般的代数结构：

  • 结合代数（associative algebra）的内自同构由可逆元 u u 的共轭作用 x↦uxu−1 x \mapsto uxu^{-1} 给出，其核为中心，内自同构群同构于 A×/Z(A×) A^\times / Z(A^\times) 。
  • 李代数（Lie algebra）的内自同构由指数映射 exp⁡(ad⁡x) \exp(\operatorname{ad}_x) 生成，其中 ad⁡x(y)=[x,y] \operatorname{ad}_x(y) = [x,y] 是伴随表示。李代数中的内自同构构成李群的李代数作用的无穷小版本。
  • 在范畴论中，内自同构是某个群对象在其自身上的共轭作用，提供了一个统一的框架来理解不同代数结构中的内变换。

历史注记

内自同构的概念可以追溯到19世纪末李（Sophus Lie）和基灵（Wilhelm Killing）对连续群的研究。卡坦（Élie Cartan）在20世纪初系统发展了李代数的分类理论，其中内自同构（由伴随作用生成）与根系、Weyl群等概念密切相关。在抽象群论中，诺特（Emmy Noether）和她的学派将内自同构纳入了现代公理化群论的框架。在有限单群分类这一20世纪数学的重大工程中，内自同构群的结构分析是分类过程中不可或缺的工具。特别地，对于单群而言，其内自同构群与原群同构（因为中心平凡），这意味着群的全部自同构信息都蕴含在其内部结构中。

小结

组内变换（内自同构）是群论中最基本的变换类型之一。它揭示了群元素之间的共轭关系，与正规子群、中心、换位子等核心概念紧密相连。通过商群 G/Z(G) G/Z(G) 刻画内自同构群的结构，以及 Inn⁡(G) \operatorname{Inn}(G) 在 Aut⁡(G) \operatorname{Aut}(G) 中的正规性，是理解群结构对称性的重要视角。内自同构的概念也自然延伸到其他代数结构，成为贯穿代数学的一条基本线索。

参考文献

  1. Jacobson, N. (2009). *Basic Algebra I*. Dover Publications.
  2. Dummit, D. S. \& Foote, R. M. (2004). *Abstract Algebra* (3rd ed.). Wiley.
  3. Lang, S. (2002). *Algebra* (Revised 3rd ed.). Springer.
  4. 张恭庆 (2015). *近世代数基础*. 高等教育出版社.
  5. 冯克勤 (2005). *抽象代数*. 清华大学出版社.
  6. Rotman, J. J. (2012). *An Introduction to the Theory of Groups* (4th ed.). Springer.