联立方程模型

联立方程模型 (Simultaneous Equations Model)

联立方程模型（Simultaneous Equations Model，SEM）是计量经济学中用于描述多个经济变量之间相互依存关系的核心建模框架。与单方程回归模型不同，SEM由一组方程组成，每个方程描述一个经济行为关系，各方程的因变量可能同时作为其他方程的解释变量出现，从而产生内生性问题。该模型由考尔斯委员会在20世纪40年代系统发展，是宏观经济学和微观经济学实证研究的基石。

结构型与简约型

SEM的一般结构型为：

其中$\mathbf{Y}$为内生变量矩阵，$\mathbf{X}$为前定变量矩阵，$\boldsymbol{\Gamma}$和$\mathbf{B}$为结构参数矩阵，$\boldsymbol{\varepsilon}$为结构扰动项。

简约型将内生变量表为所有前定变量的函数：

其中$\boldsymbol{\Pi} = -\mathbf{B} \boldsymbol{\Gamma}^{-1}$，$\mathbf{V} = \boldsymbol{\varepsilon} \boldsymbol{\Gamma}^{-1}$。简约型可直接用OLS一致估计，但结构参数是经济学解释的核心对象。

识别问题

识别是SEM的核心挑战：能否从简约型参数$\boldsymbol{\Pi}$唯一地恢复结构参数？

阶条件：方程可识别的必要条件为排除的前定变量数不少于该方程包含的内生变量数减一。记$K$为系统总前定变量数，$k$为方程包含的前定变量数，$g$为方程包含的内生变量数，则需$K - k \ge g - 1$。

秩条件：识别的充分必要条件。考察排除变量的系数矩阵的秩，要求该矩阵的秩等于系统总内生变量数减一。

估计方法

两阶段最小二乘法（2SLS）是处理过度识别方程的标准方法。第一阶段将内生解释变量对所有前定变量作OLS回归得预测值；第二阶段用预测值替代原内生变量进行OLS估计。2SLS估计量是一致估计量且在大样本下渐近有效。

三阶段最小二乘法（3SLS）同时估计所有方程，利用跨方程的扰动项相关性提高效率。有限信息极大似然法和完全信息极大似然法是替代的似然方法。

联立性偏差与应用

若忽视联立性直接对结构方程做OLS，估计量将不一致，此即联立性偏差。经典示例为供给与需求模型：价格和数量由供需双方共同决定，单方程估计混淆了供给曲线和需求曲线的移动。联立方程模型广泛应用于宏观经济学、劳动经济学和产业组织理论。