被占优策略

被占优策略 (Dominated Strategy)

被占优策略（Dominated Strategy）是博弈论（Game Theory）中的核心概念，与占优策略（Dominant Strategy）相对。如果存在另一个策略使得参与者无论对手如何行动都能获得至少同样高（且至少在一个情况下严格更高）的收益，则原策略即为被占优策略。理性参与者不会采用被严格占优的策略，因为总存在一个更好的替代方案。被占优策略的识别与剔除构成了博弈分析中最重要的简化工具之一——迭代剔除严格被占优策略（Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies, IESDS），该方法能够大幅缩小博弈的策略空间，在不丢失均衡信息的前提下简化分析。

严格被占优策略的定义

设标准式博弈 $G = (N, \{S_i\}_{i \in N}, \{u_i\}_{i \in N})$，其中 $N$ 为参与者集合，$S_i$ 为参与者 $i$ 的策略空间，$u_i: \prod_{j \in N} S_j \to \mathbb{R}$ 为支付函数。对于参与者 $i$，策略 $s_i' \in S_i$ 是严格被占优策略（Strictly Dominated Strategy），如果存在另一个策略 $s_i^* \in S_i$（$s_i^* \neq s_i'$）使得对于对手的所有可能策略组合 $s_{-i} \in S_{-i}$ 均有：

此时称 $s_i^*$ 严格占优于（strictly dominates）$s_i'$。严格被占优策略的核心理念是：无论其他参与者如何选择，参与者总可以通过改用策略 $s_i^*$ 获得严格更高的收益。一个理性的、追求自身收益最大化的参与者永远不会选择严格被占优策略，因为这一决策在任何可能的对手行动下都劣于某个已知的替代策略。

严格被占优策略具有传递性：若 $s_i$ 被 $s_i'$ 严格占优，且 $s_i'$ 被 $s_i''$ 严格占优，则 $s_i$ 也被 $s_i''$ 严格占优。这一性质保证了迭代剔除过程的逻辑一致性。

弱被占优策略的定义

与严格被占优策略相对应的是弱被占优策略（Weakly Dominated Strategy）。策略 $s_i' \in S_i$ 是弱被占优策略，如果存在另一个策略 $s_i^* \in S_i$ 满足以下两个条件：

1. 对所有对手策略组合 $s_{-i} \in S_{-i}$，有 $u_i(s_i^*, s_{-i}) \ge u_i(s_i', s_{-i})$；
2. 至少存在一个对手策略组合 $\tilde{s}_{-i} \in S_{-i}$，使得 $u_i(s_i^*, \tilde{s}_{-i}) > u_i(s_i', \tilde{s}_{-i})$。

换言之，弱被占优策略在所有情况下都不优于某个替代策略，且在至少一种情况下严格劣于该替代策略。严格被占优与弱被占优的关键区别在于：前者要求替代策略在所有对手行动下都严格更好，而后者只要求替代策略从不更差且有时更好。

这一区别在策略剔除中意义重大。对于严格被占优策略，剔除顺序不影响最终结果，且理性参与者绝不会选择。但对于弱被占优策略，剔除顺序可能影响最终策略集合，因此迭代剔除弱被占优策略（Iterated Elimination of Weakly Dominated Strategies, IEWDS）在理论上的稳健性不如IESDS——不同的剔除顺序可能导致不同的均衡结果，这种非良定性使得IEWDS在应用时需额外谨慎。

被占优策略与纳什均衡的关系

被占优策略与纳什均衡（Nash Equilibrium）之间存在深刻联系。首先，任何纳什均衡策略组合中的每个策略都不可能是严格被占优策略——因为如果均衡策略是严格被占优的，参与者就有动机单方面偏离到占优它的策略，从而破坏均衡。这一性质意味着IESDS可以安全地用于简化博弈分析：从博弈中剔除严格被占优策略不会剔除任何纳什均衡。

然而，纳什均衡策略却可以是弱被占优的。考虑一个简单的协调博弈：两个参与者各有两个策略 $A$ 和 $B$，收益矩阵为 $(2,2)$ 在 $(A,A)$，$(0,0)$ 在 $(A,B)$，$(0,0)$ 在 $(B,A)$，$(2,2)$ 在 $(B,B)$。在该博弈中，策略 $A$ 和 $B$ 互为弱被占优（因为两者收益完全对称，不存在严格优势），但 $(A,A)$ 和 $(B,B)$ 均为纳什均衡。如需剔除依赖弱被占优策略的均衡，需要借助颤抖手完美均衡（Trembling Hand Perfect Equilibrium）等精炼概念。

简单案例：囚徒困境中的被占优策略

囚徒困境（Prisoner's Dilemma）是理解被占优策略最直观的案例。两个囚徒各有两个策略：合作（$C$）与背叛（$D$）。典型收益为：若双方都合作，各获 $-1$（服刑1年）；双方都背叛，各获 $-2$（服刑2年）；一方背叛另一方合作时，背叛者获 $0$（立即释放），合作者获 $-3$（服刑3年）。

对每个囚徒而言，策略 $C$（合作）是严格被占优的：如果对方选择 $C$，背叛得 $0 > -1$（合作）；如果对方选择 $D$，背叛得 $-2 > -3$（合作）。无论对手如何选择，背叛的收益都严格高于合作，因此合作是被严格占优的策略。IESDS剔除了合作策略，唯一的均衡是双方均选择背叛——这正是囚徒困境揭示的个体理性与集体理性的冲突。值得注意的是，尽管双方合作能获得更好的总收益（$-1,-1$），但理性个体由于各自面临被占优策略的约束，无法实现这一更优结果。

迭代剔除严格被占优策略的应用

在实际博弈分析中，IESDS是一种强大的工具。其操作步骤如下：第一轮，找出所有参与者的所有严格被占优策略并剔除；在缩减后的策略空间内重新评估，原先非被占优的策略可能变为被占优，进行第二轮剔除；如此重复，直到无法继续剔除为止。如果最终每个参与者仅剩一个策略，该博弈称为占优可解（Dominance Solvable），且该策略组合构成唯一的纳什均衡。

IESDS在产业组织理论（Industrial Organization）和拍卖理论（Auction Theory）中有广泛应用。例如在古诺竞争（Cournot Competition）模型中，若企业的成本函数满足一定条件，可以通过IESDS推导出唯一的产量组合。IESDS的优点是它仅依赖于共同知识（Common Knowledge）的理性假设——即每个参与者都是理性的，且知道彼此理性，如此递归——而不需要参与者对他人策略形成信念分布，因此比混合策略纳什均衡所需的信息要求更低。

局限性与拓展

被占优策略概念虽然直观有力，但也存在若干局限性。第一，大多数实际博弈中严格被占优策略并不常见，许多策略的价值恰恰取决于对手的行为，此时需要借助纳什均衡或更精细的解概念进行分析。第二，IESDS假设参与者的理性是共同知识（Common Knowledge），在实际决策中，这一假设可能过于理想——实验经济学研究表明，被试者在复杂博弈中并不总能识别并剔除被占优策略。第三，弱被占优策略的剔除顺序问题可能导致结果的不唯一性，这一缺陷促使博弈论学家发展出更精细的均衡精炼工具。尽管存在这些局限，被占优策略的概念仍然是博弈论中最基础的分析工具之一，作为理性行为的逻辑起点，在经济学、政治学、生物学和计算机科学等领域有着不可替代的作用。