KNOWECON WIKI

ARTICLE

规范形

规范形 (Normal Form) 规范形（Normal Form，也称策略形，Strategic Form）是博弈论中描述博弈的最基本方式。它将一个博弈抽象为三个核心要素的集合：玩家集合、每个玩家的策略空间以及定义在所有策略组合上的支付函数。规范形博弈凝练地刻画了策略互动的结构性信息——谁参与、各自能做什么、结果如何——而不描述行动的先后顺序或信息结构。这

浏览 0 更新 2025-12-09

规范形 (Normal Form)

规范形（Normal Form，也称策略形，Strategic Form）是博弈论中描述博弈的最基本方式。它将一个博弈抽象为三个核心要素的集合：玩家集合、每个玩家的策略空间以及定义在所有策略组合上的支付函数。规范形博弈凝练地刻画了策略互动的结构性信息——谁参与、各自能做什么、结果如何——而不描述行动的先后顺序或信息结构。这种表示方法是定义纳什均衡、研究占优策略和分析静态博弈的标准框架。

定义

一个有限 nn 人规范形博弈由三元组 G=⟨N,{Si}i∈N,{ui}i∈N⟩G = \langle N, \{S_i\}_{i \in N}, \{u_i\}_{i \in N} \rangle 定义：

  • N={1,2,…,n}N = \{1, 2, \ldots, n\} 为玩家集合。
  • 对每个玩家 i∈Ni \in N，SiS_i 是其纯策略空间（亦称策略集）。
  • 对每个玩家 i∈Ni \in N，ui:S1×S2×⋯×Sn→Ru_i: S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n \to \mathbb{R} 是其支付函数（Payoff Function），它将每一个策略组合映射为玩家 ii 的效用或收益。

令 S=∏i=1nSiS = \prod_{i=1}^n S_i 为所有策略组合（Strategy Profile）的集合。常记 s=(s1,…,sn)∈S\mathbf{s} = (s_1, \ldots, s_n) \in S，并采用记号 s−i=(s1,…,si−1,si+1,…,sn)\mathbf{s}_{-i} = (s_1, \ldots, s_{i-1}, s_{i+1}, \ldots, s_n) 表示除玩家 ii 外其他玩家的策略。此时 ui(si,s−i)u_i(s_i, \mathbf{s}_{-i}) 表示当玩家 ii 选择 sis_i 而其他玩家选择 s−i\mathbf{s}_{-i} 时玩家 ii 的支付。

二人有限博弈的矩阵表示

当只有两名玩家且策略集为有限集时，规范形博弈通常以支付矩阵（Payoff Matrix 或 Bimatrix）的形式呈现。以经典的囚徒困境为例：

坦白抵赖坦白(−5,−5)(0,−10)抵赖(−10,0)(−1,−1)\begin{array}{c|cc} & \text{坦白} & \text{抵赖} \\ \hline \text{坦白} & (-5, -5) & (0, -10) \\ \text{抵赖} & (-10, 0) & (-1, -1) \end{array}

行代表玩家 1 的策略，列代表玩家 2 的策略，矩阵的每个单元格 (a,b)(a, b) 表示行玩家和列玩家分别获得的支付。这种表示直观且便于分析有限博弈的均衡。

对于三人或更多玩家，支付用多维数组（张量）表示，维度随玩家数量指数增长，这是规范形表示的一个实际局限。

混合策略

在许多博弈中，纯策略空间上的纳什均衡可能不存在。为此，需要将策略概念从纯策略扩展为混合策略。

玩家 ii 的一个混合策略 σi\sigma_i 是其纯策略集 SiS_i 上的一个概率分布：

σi∈Δ(Si)={σi∈R∣Si∣:∑si∈Siσi(si)=1,  σi(si)≥0}\sigma_i \in \Delta(S_i) = \left\{ \sigma_i \in \mathbb{R}^{|S_i|} : \sum_{s_i \in S_i} \sigma_i(s_i) = 1, \; \sigma_i(s_i) \geq 0 \right\}

即 σi(si)\sigma_i(s_i) 表示玩家 ii 以概率 σi(si)\sigma_i(s_i) 选择纯策略 sis_i。所有玩家的混合策略构成混合策略组合 σ=(σ1,…,σn)\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_1, \ldots, \sigma_n)。玩家 ii 在混合策略组合 σ\boldsymbol{\sigma} 下的期望支付为：

Ui(σ)=∑s∈S[∏j=1nσj(sj)]ui(s)U_i(\boldsymbol{\sigma}) = \sum_{\mathbf{s} \in S} \left[ \prod_{j=1}^n \sigma_j(s_j) \right] u_i(\mathbf{s})

纳什均衡

规范形博弈中最重要的解概念是纳什均衡。定义玩家 ii 的最优反应对应（Best Response Correspondence）为：

BRi(s−i)={si∈Si:ui(si,s−i)≥ui(si′,s−i),  ∀si′∈Si}BR_i(\mathbf{s}_{-i}) = \{ s_i \in S_i : u_i(s_i, \mathbf{s}_{-i}) \geq u_i(s_i', \mathbf{s}_{-i}), \; \forall s_i' \in S_i \}

给定规范形博弈 ⟨N,{Si},{ui}⟩\langle N, \{S_i\}, \{u_i\} \rangle，策略组合 s∗=(s1∗,…,sn∗)\mathbf{s}^* = (s_1^*, \ldots, s_n^*) 是一个纯策略纳什均衡当且仅当：

ui(si∗,s−i∗)≥ui(si,s−i∗),∀si∈Si,  ∀i∈Nu_i(s_i^*, \mathbf{s}_{-i}^*) \geq u_i(s_i, \mathbf{s}_{-i}^*), \quad \forall s_i \in S_i, \; \forall i \in N

等价地，si∗∈BRi(s−i∗)s_i^* \in BR_i(\mathbf{s}_{-i}^*) 对所有 ii 成立——纳什均衡本质上是各玩家最优反应的"不动点"。即每个玩家在给定其他玩家策略不变的情况下，单方面偏离不能获得更高支付。纳什均衡是博弈论中理性行为的核心基准，广泛应用于寡头市场分析、拍卖理论和机制设计等领域。

严格占优与被占优策略

规范形表示便于分析策略间的占优关系：

  • 纯策略 sis_i 严格占优纯策略 si′s_i'，若对任意 s−i\mathbf{s}_{-i}，恒有 ui(si,s−i)>ui(si′,s−i)u_i(s_i, \mathbf{s}_{-i}) > u_i(s_i', \mathbf{s}_{-i})。被严格占优的策略永远不会被理性玩家选择，可以通过重复剔除严格被占优策略（Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies）逐步简化博弈。
  • 若每个玩家都有严格占优策略，则该策略组合构成博弈的唯一纳什均衡，典型例子是囚徒困境中的（坦白, 坦白）。
  • 当重复剔除非严格被占优策略时，剔除顺序可能影响最终结果，这是该方法的局限性。

规范形与展开形的比较

规范形是展开形博弈（Extensive Form Games）的互补表示。两者各有侧重：

  • 规范形：高度抽象，压缩了行动顺序和信息结构，仅保留策略与支付的映射关系。适合分析同时行动博弈和定义纳什均衡，但对信息不完全或顺序行动的刻画力不足。
  • 展开形：使用博弈树显式表征行动的先后顺序、各节点的信息集和可选行动。适合分析子博弈精炼均衡、序贯理性和信号博弈等涉及信息结构的博弈情境。

每一个展开形博弈都可以通过"策略化"转换为一个规范形博弈——令每个玩家的策略为其在每个信息集上的行动计划的完整规定。但转换后的规范形可能丢失原始展开形的许多结构信息（如策略的序贯关系），且策略数量随信息集个数呈指数增长。因此，两种表示各就其位：规范形适合"一锤子"同时决策场景，展开形适合多阶段、有信息不对称的动态博弈。

应用与局限

规范形博弈是博弈论教学的起点，其矩阵表现形式直观清晰，便于手工计算二人博弈的纳什均衡。对于有限二人博弈，寻找混合策略纳什均衡的标准方法是：固定对手的混合策略，令己方各纯策略的期望支付相等，由此解出对手的均衡混合概率。在理论层面，纳什存在性定理正是建立在规范形框架上：任何具有有限玩家集和紧凸策略空间、拟凹连续支付函数的规范形博弈，均存在混合策略纳什均衡，其证明依赖于角谷不动点定理在最优反应对应上的应用。

然而，规范形的主要局限性在于"维数灾难"：当玩家数量或策略数量增加时，支付矩阵的规模呈指数膨胀，使存储和分析变得不可行。此外，规范形将所有策略视为原子化的选项集合，忽略了一个策略往往是"如果……则……"的条件计划这一事实，而这恰恰是展开形的优势所在。因此，在实际建模中，研究者应根据博弈的信息结构和行动时序，恰当选择规范形或展开形作为分析框架。