负半定

负半定 (Negative Semidefinite)

负半定（Negative Semidefinite）是线性代数和凸分析中的一个核心概念，用于刻画实对称矩阵的二次型符号特征。一个 $n \times n$ 实对称矩阵 $A$ 称为负半定的，如果对于任意非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$，其二次型均满足：

若严格不等式成立（$x^T A x < 0$），则称 $A$ 为负定（Negative Definite）。负半定性允许二次型在某些方向上取零值，这是它与负定性的关键区别。等价地，$A$ 负半定当且仅当 $-A$ 为正半定。

判定准则

判断一个实对称矩阵是否为负半定，有多种等价条件。

特征值准则：实对称矩阵 $A$ 负半定当且仅当其所有特征值均满足 $\lambda_i \leq 0$。实对称矩阵可正交对角化 $A = Q \Lambda Q^T$，二次型 $x^T A x = \sum \lambda_i y_i^2$ 的符号由特征值完全决定。

主子式准则：$A$ 负半定的充要条件是所有奇数阶主子式 $\leq 0$，所有偶数阶主子式 $\geq 0$。此处"主子式"指任意 $k$ 行与对应 $k$ 列交叉构成的子矩阵行列式，而非仅限于顺序主子式。仅检查顺序主子式符号交错不能保证负半定性（这与负定性的判定不同：负定性要求顺序主子式严格符号交错，即 $(-1)^k \det(A_k) > 0$）。

其他等价条件还包括：存在矩阵 $B$ 使得 $A = -B^T B$；$A$ 的惯性指数中正特征值个数为零。

与凹函数和最优化的关系

负半定性在经济学和最优化的二阶条件中扮演关键角色。对于二阶连续可微函数 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$，其Hesse矩阵 $\nabla^2 f(x)$ 的负半定性是 $f$ 为凹函数的必要条件；若对所有 $x$，$\nabla^2 f(x)$ 均为负半定，则 $f$ 为凹函数（在开凸集上亦是充分条件）。

在无约束最优化中，若 $x^*$ 为局部极大值点，则一阶必要条件为 $\nabla f(x^*) = 0$，二阶必要条件为 $\nabla^2 f(x^*)$ 负半定。二阶充分条件要求 $\nabla^2 f(x^*)$ 负定。在半定条件下，高阶项可能使该点非严格局部极大，需借助更高阶导数或直接分析函数值来判断。

在约束最优化中，负半定性出现在KKT条件的二阶分析中：对于最大化问题，在满足约束正则性条件下，局部极大值的二阶必要条件为拉格朗日函数 $L(x, \lambda) = f(x) - \lambda^T g(x)$ 对 $x$ 的 Hesse 矩阵在约束切空间上负半定。

经济学中的应用

消费者理论：效用最大化问题中，支出函数 $e(p, u)$ 对价格向量 $p$ 是凹函数，其二阶导数矩阵（即 Hicks 需求函数对价格的替代矩阵）是负半定的。这一性质是补偿需求定律的数学表达：替代矩阵的对角元素非正（自身价格效应为负），且矩阵秩为 $n-1$。从显示偏好理论的角度，替代矩阵的负半定性等价于显示偏好强公理(SARP)的可积性条件。

生产者理论：成本函数 $C(w, y)$ 对投入价格 $w$ 是凹函数，因此其 Hesse 矩阵（条件要素需求对价格的导数矩阵）负半定，意味着条件要素需求曲线向下倾斜。

计量经济学：方差-协方差矩阵必须是正半定的（因此其负数负半定），因为对于任意线性组合 $a^T X$，其方差 $\operatorname{Var}(a^T X) = a^T \Sigma a \geq 0$。当变量间存在精确线性关系（完全多重共线性）时，协方差矩阵仅为半定而非正定，这是OLS估计中设计矩阵不满秩问题的代数根源。

与相关概念的区别

负半定与以下几个概念密切相关但需区分：

• 负定：$x^T A x < 0$ 对所有 $x \neq 0$ 成立。特征值全部严格为负，矩阵满秩且可逆。负半定允许零特征值，矩阵可能奇异。
• 正半定：$x^T A x \geq 0$。$A$ 负半定当且仅当 $-A$ 正半定。经济学中协方差矩阵、投影矩阵均为正半定。
• 不定：存在 $x$ 和 $y$ 使得 $x^T A x > 0$ 且 $y^T A y < 0$。鞍点处的 Hesse 矩阵通常是不定的。
• 拟凹性：比凹性更弱的条件。凹函数的 Hesse 矩阵处处负半定；拟凹函数仅要求上水平集为凸，其加边 Hesse 矩阵满足更宽松的符号条件。

在数值计算中，判断负半定性可能因浮点误差而复杂化，实践中常结合特征值分解与 Cholesky 分解的失败诊断来进行稳健判定。