遗漏变量偏差

遗漏变量偏差 (Omitted Variable Bias, OVB)

OVB是回归分析核心问题→普通最小二乘法模型中遗漏重要解释变量→导致已含变量系数OLS估计量产生系统性偏差→失无偏性+一致性→错误结论无效政策。根源：违OLS关键假设→零条件均值 $E(u\mid X)=0$→遗漏变量入误差项→若与含X相关→误差与X相关→假设破。

两条件与数学推导

①遗漏变量 $x_2$须是因变量y决定因素（$\beta_2\neq0$→y真实模型含$x_2$）。②遗漏变量与模型中含的自变量$x_1$相关（$Corr(x_1,x_2)\neq0$）。两条件缺一→无偏。

数学：真实模型$y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+u$（$E(u\mid x_1,x_2)=0$→$\beta_1$为控制$x_2$后$x_1$对y的真实因果效应）。简化模型$y=\tilde{\beta}_0+\tilde{\beta}_1x_1+v$→代入真实表达→取期望：

偏差=Bias=$E(\tilde{\beta}_1)-\beta_1=\beta_2\delta_1$。$\delta_1=Cov(x_1,x_2)/Var(x_1)$→$x_2$对$x_1$辅助回归斜率。

偏差方向：由$\beta_2\cdot\mathrm{sign}(Corr(x_1,x_2))$定→正正→高估；正负→低估；负正→低估；负负→高估。

经典例与处理

教育回报率：简化$\log(wage)=\tilde{\beta}_0+\tilde{\beta}_1\cdot educ+v$→漏"能力"(ability)。①能力影响工资→$\beta_2>0$；②能力与教育正相关→$\delta_1>0$→偏差=正×正=正→高估教育回报（$\tilde{\beta}_1$捕捉教育+部分能力溢价）。

五处理法：①直接纳入量测遗漏变量（需模型设定理论指导）。②代理变量（不可测→可测替→如IQ替能力→需高相关）。③面板数据+固定效应模型（漏不随时变个体特征→FE变换消除）。④工具变量法IV：找z满足相关性（z与$x_1$有关）+排他（z仅通过$x_1$影响y→与u无关→最难挑战）。⑤随机对照试验RCT→随机化分配$x_1$→确保$x_1$与所有潜在遗漏变量无关→条件二破→因果推断黄金标准。