随机游走

随机游走 (Random Walk)

随机游走（Random Walk）是概率论与时间序列分析中最基本的非平稳随机过程之一。其核心特征在于：过程的当期值等于其前期值加上一个独立同分布的随机冲击（innovation），使得冲击对过程具有永久性影响——任何一次扰动都不会随时间衰减，而是被永续地累积在序列中。

数学定义

最简单的随机游走模型（不带漂移）形式为：

其中 $\varepsilon_t$ 是均值为零、方差为 $\sigma^2$ 的白噪声过程。通过递推展开，可将 $y_t$ 表示为初始值 $y_0$ 与所有历史冲击的累积和：

这一表达式揭示随机游走的两个核心性质。第一，方差随时间线性增长：$\operatorname{Var}(y_t) = t\sigma^2$，过程没有定义良好的无条件方差，因此是非平稳的。第二，冲击的持久性：任何时点的冲击 $\varepsilon_s$ 均以系数 1 影响其后所有观测值 $y_t$（$t \ge s$），从不衰减——这与平稳 ARMA 过程中冲击的几何衰减形成鲜明对比。

带漂移的随机游走（Random Walk with Drift）引入常数项 $\delta$：

其展开形式为 $y_t = y_0 + \delta t + \sum_{i=1}^{t} \varepsilon_i$，包含确定性线性趋势 $\delta t$ 与随机趋势（累积冲击）两个成分。该模型广泛用于对数 GDP、对数股价等宏观经济与金融变量，漂移项 $\delta$ 捕捉长期平均增长率。

单位根与非平稳性

随机游走在 单位根 理论中占据核心地位。考虑 AR(1) 过程 $y_t = \rho y_{t-1} + \varepsilon_t$：当 $\rho = 1$ 时，该过程即为随机游走，其特征方程的根落在单位圆上，故名"单位根过程"。单位根过程具有区别于平稳过程的鲜明特征：自相关函数衰减极为缓慢，样本路径呈现蜿蜒漂移的形态，且过程的随机趋势使得任何外生冲击产生永久性效应。

在时序分析术语中，随机游走被记为 $I(1)$——一阶单整过程——因为其一阶差分 $\Delta y_t = y_t - y_{t-1} = \varepsilon_t$ 为平稳的白噪声。一般地，若过程需差分 $d$ 次才能达到平稳，则记为 $I(d)$。

有效市场假说与金融应用

随机游走假说（Random Walk Hypothesis）是 有效市场假说（Efficient Market Hypothesis, EMH）的数学表述。若资产价格完全反映所有可获得信息，则价格变动仅由不可预见的新信息（"新闻"）驱动，这意味着：

其中 $\mathcal{F}_{t-1}$ 表示 $t-1$ 时刻的信息集。在鞅（martingale）框架下，未来价格的期望等于当前价格：$\operatorname{E}[P_{t+1} \mid \mathcal{F}_t] = P_t$，投资者无法利用历史信息持续获得超额收益。对数价格常被建模为带漂移的随机游走：$\ln P_t = \mu + \ln P_{t-1} + \varepsilon_t$，漂移项 $\mu$ 代表预期对数收益率。

浮动汇率制度下的汇率行为同样表现出近似随机游走的特征。Mussa (1979) 的经典实证发现，主要浮动货币的汇率变动几乎不可预测，这与随机游走模型的预测高度一致。

伪回归问题与单位根检验

随机游走过程引发计量经济学中一个关键问题：伪回归（Spurious Regression）。Granger 与 Newbold (1974) 通过 蒙特卡洛 模拟揭示：对两个相互独立的随机游走变量进行OLS回归，在高达约 75\% 的情形下会错误地拒绝"回归系数为零"的原假设，且 $R^2$ 和 $t$ 统计量均被严重高估。这一发现从根本上改变了时间序列计量经济学的实践规范。

检验随机游走（即检验单位根原假设）最常用的工具是 增广 Dickey-Fuller 检验（ADF检验）与 Phillips-Perron 检验。ADF 检验在如下回归框架中进行：

其中原假设 $H_0: \gamma = 0$（存在单位根，即随机游走），备择假设 $H_1: \gamma < 0$（平稳）。差分滞后项用于吸收残差自相关，使检验统计量在渐近意义上不受冗余参数影响。

与布朗运动的关系

随机游走是连续时间 布朗运动（Wiener过程）的离散时间对应物。若将随机游走的时间间隔无限细分并适当归一化，由 Donsker 不变原理，随机游走的部分和过程弱收敛于标准布朗运动：

这一关系是单位根检验与协整分析中渐近分布理论（维纳过程泛函的分布）的数学基础，也是 Black-Scholes 期权定价模型中几何布朗运动设定的概率论依据。