KNOWECON WIKI

ARTICLE

齐次多项式

齐次多项式 (Homogeneous Polynomial) 齐次多项式是代数学中的一个基本概念，指所有项具有相同总次数的多项式。在经济学中，齐次多项式及其对应的齐次函数在生产理论、消费者理论和一般均衡分析中具有核心重要性，因为许多经济函数（如 Cobb-Douglas生产函数、 CES函数）都具有齐次性。 定义 一个 n 元多项式 P(x_1, x_2,

浏览 0 更新 2026-05-25

齐次多项式 (Homogeneous Polynomial)

齐次多项式是代数学中的一个基本概念，指所有项具有相同总次数的多项式。在经济学中，齐次多项式及其对应的齐次函数在生产理论、消费者理论和一般均衡分析中具有核心重要性，因为许多经济函数（如 Cobb-Douglas生产函数、 CES函数）都具有齐次性。

定义

一个 nn 元多项式 P(x1,x2,…,xn)P(x_1, x_2, \ldots, x_n) 称为 kk 次齐次多项式，若每一项中各变量的指数之和均为 kk。即：

P(λx1,λx2,…,λxn)=λkP(x1,x2,…,xn)P(\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^k P(x_1, x_2, \ldots, x_n)

对任意标量 λ\lambda 成立。

例如，x2+3xy+y2x^2 + 3xy + y^2 是 2 次齐次多项式（每项次数之和均为2），而 x2+xy+1x^2 + xy + 1 不是（常数项次数为0）。

与齐次函数的关系

齐次多项式是齐次函数的特殊情形。更一般地，函数 ff 称为 kk 次齐次，若对任意 λ>0\lambda > 0 有 f(λx)=λkf(x)f(\lambda \mathbf{x}) = \lambda^k f(\mathbf{x})。齐次多项式与齐次函数的联系由欧拉定理刻画：

∑i=1nxi∂f∂xi=kf(x)\sum_{i=1}^{n} x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} = k f(\mathbf{x})

经济学中的齐次性

生产函数和效用函数的齐次性具有重要的经济含义：

  • 一次齐次（k=1k=1）：对应规模报酬不变。产出与投入同比例增长。Cobb-Douglas 生产函数 Y=AKαL1−αY = AK^\alpha L^{1-\alpha} 即是一次齐次的。
  • k>1k > 1 次齐次：对应规模报酬递增。投入增加一倍，产出增加超过一倍。
  • k<1k < 1 次齐次：对应规模报酬递减。

在消费者理论中，希克斯需求函数是价格的零次齐次函数——所有价格同比例上涨不改变需求量，仅改变名义支出。在一般均衡中，齐次性确保超额需求函数在绝对价格水平变化时不变，为瓦尔拉斯法则的成立提供了数学基础。

欧拉定理的经济应用

欧拉定理在经济学中有重要应用。对于一次齐次的生产函数 Y=F(K,L)Y = F(K, L)，有：

Y=K∂F∂K+L∂F∂LY = K \frac{\partial F}{\partial K} + L \frac{\partial F}{\partial L}

在完全竞争假设下，资本的边际产出等于利率 rr，劳动的边际产出等于工资 ww，则上式意味着产出恰好全部用于支付资本和劳动的报酬——产品耗尽定理。该结果解释了为什么零利润条件在规模报酬不变的生产经济中成立。