Frisch-Waugh-Lovell定理

Frisch-Waugh-Lovell定理 (FWL)

FWL定理→计量/统计核→多元线性回归中任回归子集估可三分步回得→揭多元归"控他变后"净效含义→Frisch、Waugh、Lovell独立提出。

定理与证明

模$Y=X\beta+\varepsilon$→分$X=[X_1 X_2]$→$Y=X_1\beta_1+X_2\beta_2+\varepsilon$。FWL三步：①$Y$对$X_2$OLS→得残差$Y^*=M_2Y$（$M_2=I-X_2(X_2'X_2)^{-1}X_2'$=残差生成矩阵/零化矩阵）。②$X_1$每列对$X_2$OLS→得残差阵$X_1^*=M_2X_1$。③$Y^*$对$X_1^*$OLS→得$\hat{\beta}_1$。核结：FWL估得$\hat{\beta}_1$等于原多元归中$\hat{\beta}_1$；残差亦等。

证：完整模→$M=(X'X)^{-1}X'$→分块形$X_1'M_2X_1\hat{\beta}_1=X_1'M_2Y$→故$\hat{\beta}_1=(X_1'M_2X_1)^{-1}(X_1'M_2Y)$。FWL第三步：$\hat{\beta}_{1,FWL}=((M_2X_1)'M_2X_1)^{-1}((M_2X_1)'M_2Y)$→利用$M_2$对称幂等→得同$\hat{\beta}_1$。残差：$\hat{\epsilon}=Y-X_1\hat{\beta}_1-X_2\hat{\beta}_2=M_2(Y-X_1\hat{\beta}_1)=\hat{\epsilon}_{FWL}$。

直觉与应用

含：控$X_2$下$X_1$对$Y$影→实衡$X_1$无可被$X_2$解"新信"部对$Y$无可被$X_2$解"剩信"部→其他条件不变ceteris paribus→归析数现。

应：①去均值→$X_2$仅常项→先减均再无截回归→得斜率。②固定效应→面板数据→通"组内去均"消个异→等价加个拟变→合并OLS。③季节性调整→时间序列→季虚拟变=$X_2$→先季调得残→残归得除季系数。核→FWL=连多元归数解与统释桥→计量必握核心。