extensive form games

展开型博弈 (Extensive Form Games)

展开型博弈（Extensive Form Game），又称扩展式博弈，是博弈论中用于描述序贯决策（Sequential Decision Making）的标准建模框架。与策略型博弈（Strategic/Normal Form）将参与人的策略压缩为同时选择不同，展开型通过博弈树（Game Tree）显式刻画参与人的行动顺序、每一步可用的选择以及各参与人在决策时掌握的信息，因此天然适用于分析具有先后次序的互动情景。

博弈树的基本构成

展开型博弈由以下基本要素组成：

1. 节点（Nodes）：分为决策节点（Decision Nodes）和终节点（Terminal Nodes）。每个决策节点标注当前行动的参与人，终节点标注各参与人的支付（Payoffs）。
2. 边（Edges/Branches）：从决策节点出发的每条边代表该参与人在该时点可选择的行动。
3. 信息集（Information Sets）：将参与人无法区分的决策节点划入同一虚线框。若参与人在该集合中不知道自己所处的精确节点，则该信息集为非单点信息集（Non-singleton），此时博弈具有不完美信息（Imperfect Information）。
4. 参与人函数：将每个决策节点映射到对应的参与人。
5. 支付函数：将每个终节点映射到各参与人的效用向量。

展开型博弈的图示即为博弈树。博弈树的根表示博弈开始，从根到任一终节点的路径构成一个博弈路径（Play），每一条完整路径对应一种可能的博弈结果。

完美信息与不完美信息

若展开型博弈中所有信息集都是单点的（即每个参与人在每次行动时都完全知晓博弈此前发生的全部历史），则称该博弈具有完美信息（Perfect Information）。否则，称该博弈具有不完美信息（Imperfect Information）。需要区分的是，不完美信息不等同于不完全信息（Incomplete Information）——前者涉及对历史行动的不确定，后者涉及对他人类型（如支付函数参数）的不确定。Harsanyi将不完全信息博弈转化为不完美信息博弈的框架称为Harsanyi变换（Harsanyi Transformation）。

纯策略与行为策略

在展开型博弈中，纯策略（Pure Strategy）为每个信息集指定一项行动的完整计划，即使某些信息集在均衡路径上可能无法到达。策略的数量随信息集数量呈指数增长。与之相对，行为策略（Behavioral Strategy）在每个信息集上独立地随机化行动选择。Kuhn定理指出，在具有完美回忆（Perfect Recall）的展开型博弈中，混合策略与行为策略是等价的——即任何混合策略的支付分布均可由行为策略复制。完美回忆要求参与人永不遗忘自己曾知道的信息或曾采取的行动。

子博弈与子博弈完美均衡

展开型博弈的一个核心分析工具是子博弈（Subgame）。子博弈从一个单点信息集开始，包含该节点及其所有后继节点，并且不能切割任何信息集。基于子博弈概念，子博弈完美纳什均衡（Subgame Perfect Nash Equilibrium, SPNE）将纳什均衡精炼为：不仅在原博弈的均衡路径上每个参与人的策略是最优反应，在每一个子博弈中也必须构成纳什均衡。SPNE排除了依赖不可信威胁（Non-credible Threat）的纳什均衡，是分析序贯理性（Sequential Rationality）的基础解概念。

反向归纳法

对于有限完美信息展开型博弈，反向归纳法（Backward Induction）提供了一种构造子博弈完美均衡的算法。从博弈树的终节点向上逐层求解：在每一个决策节点处，给定后继节点的均衡支付，当前参与人选择最大化自身支付的行动。由于完美信息保证每个信息集均为单点，反向归纳法可唯一确定均衡路径（若不出现支付相同的平局情况）。Zermelo定理指出，任何有限完美信息零和博弈都具有唯一的反向归纳解。

反向归纳法的前提假设——所有参与人是理性且共同知识——在长博弈中受到理论和实验的挑战。著名的蜈蚣博弈（Centipede Game）实验中，参与人通常在较早阶段就终止博弈，偏离反向归纳法的预测，揭示了有限理性与互惠偏好的重要性。

与策略型博弈的关系

任何展开型博弈都可转换为策略型博弈，方法是将每个参与人的纯策略枚举为策略空间中的维度，支付矩阵的元素由各策略组合对应的终节点支付决定。但反之不成立：同一个策略型博弈通常可以对应多个不等价的展开型表示，取决于行动顺序和信息结构的设定。因此展开型是比策略型更丰富的描述形式——它包含策略型所不具备的时序和信息细节。这一丰富性在分析承诺（Commitment）、信号传递（Signaling）和声誉（Reputation）等问题时不可替代。

应用领域

展开型博弈是契约理论、产业组织理论和政治经济学中的核心建模工具。在契约理论中，委托人-代理人模型的时序结构（委托人先提出合约，代理人后选择努力水平）天然适合展开型表示。在产业组织中，斯塔克尔伯格模型的领导者-跟随者结构直接对应展开型的两阶段序贯博弈。在政治经济学中，立法过程的议程设置、否决权博弈等均高度依赖展开型框架来分析策略性议程操控。